Num certo hospital, a temperatura na sala de espera das urgências tem distribuição uniforme entre 20 e 24 graus. a) Construa a função de distribuição adequada. b) Calcule a temperatura média da sala e a variância. c) Qual a probabilidade de a temperatura da sala estar entre 21 e 23 graus?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a temperatura na sala de espera de um hospital que segue uma distribuição uniforme entre 20 e 24 graus. Isso significa que todas as temperaturas nesse intervalo têm a mesma probabilidade de ocorrer. Vamos precisar usar conceitos de distribuição uniforme para construir a função de distribuição acumulada, calcular a média e a variância, e também determinar a probabilidade da temperatura estar entre 21 e 23 graus.

Passo 2

Primeiro, vamos construir a função de distribuição acumulada (F) para a distribuição uniforme. A distribuição uniforme contínua entre f(x) = 1b - a & se a <= x <= b, 0 & caso contrário e f(x) = 124 - 20 = 14 & se 20 <= x <= 24, 0 & caso contrário tem a função de densidade de probabilidade:
F(x) = 0 & se x < 20, x - 204 & se 20 <= x <= 24, 1 & se x > 24 á
No nosso caso, e . Então,
á
Agora, a função de distribuição acumulada (F) é a integral da função de densidade:

Passo 3

Agora, vamos calcular a temperatura média (esperança matemática) da distribuição uniforme. A fórmula para a média mu = a + b2 é:
mu = 20 + 242 = 442 = 22 graus
Substituindo os valores:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a variância (σ²) da distribuição uniforme. A fórmula é:
sigma^2 = (b - a)^212
Substituindo:
sigma^2 = (24 - 20)^212 = 1612 = 43 approx 1,333 graus^2

Passo 5

Por último, vamos determinar a probabilidade de a temperatura estar entre 21 e 23 graus. Para a distribuição uniforme, a probabilidade de um intervalo é dada por:
P(c <= X <= d) = d - cb - a
Aqui, P(21 <= X <= 23) = 23 - 2124 - 20 = 24 = 0,5 e . Então,
Ou seja, há 50% de chance da temperatura estar entre 21 e 23 graus.

Resposta

a) A função de distribuição acumulada é:
F(x) = 0 & se x < 20, x - 204 & se 20 <= x <= 24, 1 & se x > 24
b) A temperatura média da sala é 22 graus e a variância é aproximadamente 1,333 graus².
c) A probabilidade de a temperatura estar entre 21 e 23 graus é 50%.

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