Num certo hospital, a temperatura na sala de espera das urgências tem distribuição uniforme entre 20 e 24 graus. a) Construa a função de distribuição adequada. b) Calcule a temperatura média da sala e a variância. c) Qual a probabilidade de a temperatura da sala estar entre 21 e 23 graus?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a temperatura na sala de espera de um hospital que segue uma distribuição uniforme entre 20 e 24 graus. Isso significa que todas as temperaturas nesse intervalo têm a mesma probabilidade de ocorrer. Vamos precisar usar conceitos de distribuição uniforme para construir a função de distribuição acumulada, calcular a média e a variância, e também determinar a probabilidade da temperatura estar entre 21 e 23 graus.
Passo 2
Primeiro, vamos construir a função de distribuição acumulada (F) para a distribuição uniforme. A distribuição uniforme contínua entre e tem a função de densidade de probabilidade:
No nosso caso, e . Então,
Agora, a função de distribuição acumulada (F) é a integral da função de densidade:
Passo 3
Agora, vamos calcular a temperatura média (esperança matemática) da distribuição uniforme. A fórmula para a média mu = a + b2 é:
mu = 20 + 242 = 442 = 22 graus
Substituindo os valores:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a variância (σ²) da distribuição uniforme. A fórmula é:
Por último, vamos determinar a probabilidade de a temperatura estar entre 21 e 23 graus. Para a distribuição uniforme, a probabilidade de um intervalo é dada por:
P(c <= X <= d) = d - cb - a
Aqui, P(21 <= X <= 23) = 23 - 2124 - 20 = 24 = 0,5 e . Então,
Ou seja, há 50% de chance da temperatura estar entre 21 e 23 graus.
Resposta
a) A função de distribuição acumulada é:
F(x) = 0 & se x < 20, x - 204 & se 20 <= x <= 24, 1 & se x > 24
b) A temperatura média da sala é 22 graus e a variância é aproximadamente 1,333 graus².
c) A probabilidade de a temperatura estar entre 21 e 23 graus é 50%.