Considere o vetor aleatório
que representa o número de consultas anuais que um grupo de usuários requereu no serviço público
e no serviço privado
, caracterizado pela seguinte função de probabilidade conjunta.
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2 | 3 | 4 | ||
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1 |
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0 |
2 |
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0 |
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3 |
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0 |
(a) Obtenha as funções de probabilidade marginais e as funções de distribuição marginais do número de consultas no serviço público e no serviço privado.
(b) Determine a probabilidade de, ao escolher um usuário ao acaso, este ter tido um produto do número de consultas par.
© Qual a probabilidade de um usuário selecionado ao acaso ter tido no máximo 2 consultas no serviço público e no máximo 3 no serviço privado?
(d) Construa a função de probabilidade do número de consultas no serviço privado, apenas para os usuários que tiveram 2 consultas no público.
(e) Calcule a probabilidade de, ao escolher ao acaso, um usuário de entre os que tiveram 3 ou mais consultas no serviço privado, este ter tido 3 consultas no serviço público.
(f) Determine a probabilidade de um usuário, escolhido ao acaso, ter tido 3 consultas no serviço público.
(g) Qual a probabilidade de, ao escolher um usuário ao acaso, este ter tido 2 consultas no serviço privado, sabendo que teve menos de 6 consultas, ou seja, ?
(h) Será que o número de consultas no serviço público é independente do número de consultas no serviço privado? Justifique.
(b) Determine a probabilidade de, ao escolher um usuário ao acaso, este ter tido um produto do número de consultas par.
© Qual a probabilidade de um usuário selecionado ao acaso ter tido no máximo 2 consultas no serviço público e no máximo 3 no serviço privado?
(d) Construa a função de probabilidade do número de consultas no serviço privado, apenas para os usuários que tiveram 2 consultas no público.
(e) Calcule a probabilidade de, ao escolher ao acaso, um usuário de entre os que tiveram 3 ou mais consultas no serviço privado, este ter tido 3 consultas no serviço público.
(f) Determine a probabilidade de um usuário, escolhido ao acaso, ter tido 3 consultas no serviço público.
(g) Qual a probabilidade de, ao escolher um usuário ao acaso, este ter tido 2 consultas no serviço privado, sabendo que teve menos de 6 consultas, ou seja,
(h) Será que o número de consultas no serviço público é independente do número de consultas no serviço privado? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um vetor aleatório
que representa o número de consultas anuais em serviços públicos
e privados
. A gente precisa encontrar as funções de probabilidade marginais e as funções de distribuição marginais para
e
. Isso significa que vamos separar as probabilidades individuais para cada serviço, ignorando o outro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as funções de probabilidade marginais. A função marginal de
, por exemplo, é a soma das probabilidades de todas as possíveis consultas em
para cada valor de
. O mesmo vale para a função marginal de
.
Passo 3
Vamos calcular a função de probabilidade marginal de
, que chamaremos de
. Para cada valor de
, somamos as probabilidades de todas as colunas de
.
Passo 4
Aplicando isso à nossa tabela:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a função de probabilidade marginal de
, que chamaremos de
. Para cada valor de
, somamos as probabilidades de todas as linhas de
.
Passo 6
Aplicando isso à nossa tabela:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Agora que temos as funções de probabilidade marginais, vamos para as funções de distribuição marginais. A função de distribuição marginal de
,
, é a soma acumulada das probabilidades até o valor
. O mesmo vale para
.
Passo 8
Calculando
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 9
Calculando
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
As funções de probabilidade marginais são:
As funções de distribuição marginais são: