Considere o vetor aleatório (X, Y) que representa o número de consultas anuais que um grupo de usuários requereu no serviço público (X) e no serviço privado (Y), caracterizado pela seguinte função de probabilidade conjunta.
f(x, y) Y
2 3 4
X 1 1 / 12 1 / 6 0
2 1 / 6 0 1 / 3
3 1 / 12 1 / 6 0
(a) Obtenha as funções de probabilidade marginais e as funções de distribuição marginais do número de consultas no serviço público e no serviço privado.
(b) Determine a probabilidade de, ao escolher um usuário ao acaso, este ter tido um produto do número de consultas par.
© Qual a probabilidade de um usuário selecionado ao acaso ter tido no máximo 2 consultas no serviço público e no máximo 3 no serviço privado?
(d) Construa a função de probabilidade do número de consultas no serviço privado, apenas para os usuários que tiveram 2 consultas no público.
(e) Calcule a probabilidade de, ao escolher ao acaso, um usuário de entre os que tiveram 3 ou mais consultas no serviço privado, este ter tido 3 consultas no serviço público.
(f) Determine a probabilidade de um usuário, escolhido ao acaso, ter tido 3 consultas no serviço público.
(g) Qual a probabilidade de, ao escolher um usuário ao acaso, este ter tido 2 consultas no serviço privado, sabendo que teve menos de 6 consultas, ou seja, P(X=2 mid X+Y <= 5) ?
(h) Será que o número de consultas no serviço público é independente do número de consultas no serviço privado? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um vetor aleatório (X, Y) que representa o número de consultas anuais em serviços públicos (X) e privados (Y). A gente precisa encontrar as funções de probabilidade marginais e as funções de distribuição marginais para X e Y. Isso significa que vamos separar as probabilidades individuais para cada serviço, ignorando o outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as funções de probabilidade marginais. A função marginal de X, por exemplo, é a soma das probabilidades de todas as possíveis consultas em Y para cada valor de X. O mesmo vale para a função marginal de Y.

Passo 3

Vamos calcular a função de probabilidade marginal de X, que chamaremos de fX(x). Para cada valor de X, somamos as probabilidades de todas as colunas de Y.
fX(x) = sumy f(x, y)

Passo 4

Aplicando isso à nossa tabela:
  • Para X = 1:
fX(1) = 112 + 16 + 0 = 112 + 212 = 312 = 14
  • Para X = 2:
fX(2) = 16 + 0 + 13 = 212 + 412 = 612 = 12
  • Para X = 3:
fX(3) = 112 + 16 + 0 = 112 + 212 = 312 = 14

Passo 5

Agora, vamos calcular a função de probabilidade marginal de Y, que chamaremos de fY(y). Para cada valor de Y, somamos as probabilidades de todas as linhas de X.
fY(y) = sumx f(x, y)

Passo 6

Aplicando isso à nossa tabela:
  • Para Y = 2:
fY(2) = 112 + 16 + 112 = 112 + 212 + 112 = 412 = 13
  • Para Y = 3:
fY(3) = 16 + 0 + 16 = 212 + 212 = 412 = 13
  • Para Y = 4:
fY(4) = 0 + 13 + 0 = 412 = 13

Passo 7

Agora que temos as funções de probabilidade marginais, vamos para as funções de distribuição marginais. A função de distribuição marginal de X, FX(x), é a soma acumulada das probabilidades até o valor x. O mesmo vale para FY(y).

Passo 8

Calculando FX(x):
  • Para X = 1:
FX(1) = fX(1) = 14
  • Para X = 2:
FX(2) = FX(1) + fX(2) = 14 + 12 = 34
  • Para X = 3:
FX(3) = FX(2) + fX(3) = 34 + 14 = 1

Passo 9

Calculando FY(y):
  • Para Y = 2:
FY(2) = fY(2) = 13
  • Para Y = 3:
FY(3) = FY(2) + fY(3) = 13 + 13 = 23
  • Para Y = 4:
FY(4) = FY(3) + fY(4) = 23 + 13 = 1

Resposta

As funções de probabilidade marginais são:
fX(x) = 14 & se x = 1 12 & se x = 2 14 & se x = 3 0 & caso contrário á
fY(y) = 13 & se y = 2 13 & se y = 3 13 & se y = 4 0 & caso contrário á
As funções de distribuição marginais são:
FX(x) = 14 & se x = 1 34 & se x = 2 1 & se x = 3
FY(y) = 13 & se y = 2 23 & se y = 3 1 & se y = 4

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