O cliente do exercício anterior ao receber as 100 lâmpadas resolve testar algumas. Calcule a probabilidade de num grupo de dez lâmpadas aparecer uma fundida se: a) As extrações forem sem reposição; b) As extrações forem com reposição.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um total de 100 lâmpadas, e precisamos descobrir a probabilidade de, ao selecionar um grupo de 10 lâmpadas, aparecer exatamente uma que está fundida (defeituosa). Vamos resolver isso de duas maneiras diferentes:
a) Seleção sem reposição (ou seja, uma vez que tiramos uma lâmpada, ela não volta para o grupo);
b) Seleção com reposição (onde cada lâmpada tirada é colocada de volta antes da próxima seleção).
a) Seleção sem reposição (ou seja, uma vez que tiramos uma lâmpada, ela não volta para o grupo);
b) Seleção com reposição (onde cada lâmpada tirada é colocada de volta antes da próxima seleção).
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho de probabilidade e como ela muda dependendo de como fazemos as extrações.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que entre as 100 lâmpadas, há um certo número de lâmpadas defeituosas. Vamos chamar esse número de D. Por exemplo, se 5 lâmpadas são defeituosas, então D = 5.
Passo 3
a) Seleção sem reposição:
Quando tiramos lâmpadas sem reposição, cada retirada afeta a próxima, porque o total de lâmpadas diminui a cada vez.
Para calcular a probabilidade de exatamente uma lâmpada ser defeituosa em 10 retiradas, usamos a Distribuição Hipergeométrica. A fórmula é:
Onde:
-
é o número de formas de escolher k lâmpadas defeituosas das D disponíveis. -
é o número de formas de escolher as demais lâmpadas que não são defeituosas. -
é o número total de formas de escolher 10 lâmpadas de 100.
No nosso caso, queremos que
, então:
Passo 4
b) Seleção com reposição:
Aqui, cada lâmpada retirada é colocada de volta antes da próxima seleção. Isso faz com que cada retirada seja independente das anteriores.
Neste caso, usamos a Distribuição Binomial, que nos dá a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n tentativas, com a probabilidade de sucesso em cada tentativa sendo p.
A fórmula é:
Onde:
-
é o número de tentativas (10 retiradas). -
é o número de sucessos (1 lâmpada defeituosa). -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (probabilidade de tirar uma lâmpada defeituosa).
A probabilidade
é:
Então, para
:
Resposta
A probabilidade de, em um grupo de 10 lâmpadas, aparecer exatamente uma defeituosa é:
a) Sem reposição:
b) Com reposição: