O cliente do exercício anterior ao receber as 100 lâmpadas resolve testar algumas. Calcule a probabilidade de num grupo de dez lâmpadas aparecer uma fundida se: a) As extrações forem sem reposição; b) As extrações forem com reposição.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um total de 100 lâmpadas, e precisamos descobrir a probabilidade de, ao selecionar um grupo de 10 lâmpadas, aparecer exatamente uma que está fundida (defeituosa). Vamos resolver isso de duas maneiras diferentes:
a) Seleção sem reposição (ou seja, uma vez que tiramos uma lâmpada, ela não volta para o grupo);
b) Seleção com reposição (onde cada lâmpada tirada é colocada de volta antes da próxima seleção).
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho de probabilidade e como ela muda dependendo de como fazemos as extrações.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que entre as 100 lâmpadas, há um certo número de lâmpadas defeituosas. Vamos chamar esse número de D. Por exemplo, se 5 lâmpadas são defeituosas, então D = 5.

Passo 3

a) Seleção sem reposição:
Quando tiramos lâmpadas sem reposição, cada retirada afeta a próxima, porque o total de lâmpadas diminui a cada vez.
Para calcular a probabilidade de exatamente uma lâmpada ser defeituosa em 10 retiradas, usamos a Distribuição Hipergeométrica. A fórmula é:
P(X = k) = dbinomDk dbinom100 - D10 - kdbinom10010
Onde:
  • P(X = 1) = dbinomD1 dbinom100 - D9dbinom10010 é o número de formas de escolher k lâmpadas defeituosas das D disponíveis.
  • é o número de formas de escolher as demais lâmpadas que não são defeituosas.
  • é o número total de formas de escolher 10 lâmpadas de 100.
No nosso caso, queremos que , então:

Passo 4

b) Seleção com reposição:
Aqui, cada lâmpada retirada é colocada de volta antes da próxima seleção. Isso faz com que cada retirada seja independente das anteriores.
Neste caso, usamos a Distribuição Binomial, que nos dá a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n tentativas, com a probabilidade de sucesso em cada tentativa sendo p.
A fórmula é:
P(X = k) = dbinomnk p^k (1 - p)^n - k
Onde:
  • p = D100 é o número de tentativas (10 retiradas).
  • P(X = 1) = dbinom101 ( D100 )^1 ( 1 - D100 )^9 é o número de sucessos (1 lâmpada defeituosa).
  • é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (probabilidade de tirar uma lâmpada defeituosa).
A probabilidade é:
Então, para :

Resposta

A probabilidade de, em um grupo de 10 lâmpadas, aparecer exatamente uma defeituosa é:
a) Sem reposição:
P(X = 1) = dbinomD1 dbinom100 - D9dbinom10010
b) Com reposição:
P(X = 1) = dbinom101 ( D100 ) ( 1 - D100 )^9

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