Suponha que a necessidade diária de um dado medicamento num dado hospital pode ser descrita pela v.a.
com a seguinte função densidade de probabilidade:
(a) Determine o valor de c para
ser uma função de densidade de probabilidade…
(b) Calcule a
.
© Encontre uma expressão para os quantil p. Calcule os quartis.
(d) Calcule o valor esperado e a variância para a necessidade mensal.
(b) Calcule a
© Encontre uma expressão para os quantil p. Calcule os quartis.
(d) Calcule o valor esperado e a variância para a necessidade mensal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função densidade de probabilidade para a necessidade diária de um medicamento num hospital. A questão tem quatro partes: encontrar o valor de
para que a função seja uma densidade válida, calcular a probabilidade de
estar entre 1 e 2, encontrar os quantis e calcular o valor esperado e a variância da necessidade mensal. Para isso, vamos precisar lembrar das propriedades das funções de densidade, integrar funções e entender conceitos de estatística como quantis, valor esperado e variância.
Passo 2
Parte (a): Determinar o valor de
para
ser uma função de densidade de probabilidade.
Primeiro, para que
seja uma função de densidade válida, a área total sob a curva de
deve ser igual a 1. Ou seja:
No nosso caso,
para
e zero caso contrário. Então, a integral fica:
Vamos resolver essa integral:
Igualando a 1:
Passo 3
Parte (b): Calcular
.
A probabilidade de
estar entre 1 e 2 é dada pela integral de
de 1 a 2:
Sabemos que
, então substituímos:
Passo 4
Parte ©: Encontrar uma expressão para os quantis
e calcular os quartis.
O quantil
é o valor
tal que
. Para encontrá-lo, primeiro precisamos da função de distribuição acumulada (CDF)
:
Substituindo
:
Para encontrar o quantil
:
Agora, vamos calcular os quartis, que correspondem a
(primeiro quartil),
(mediana) e
(terceiro quartil):
- Primeiro quartil (
):
- Mediana (
):
- Terceiro quartil (
):
Passo 5
Parte (d): Calcular o valor esperado e a variância para a necessidade mensal.
Primeiro, vamos lembrar que a necessidade mensal é a soma das necessidades diárias. Supondo que o mês tem
dias, o valor esperado mensal
será
vezes o valor esperado diário
, e a variância mensal
será
vezes a variância diária
, pois as necessidades diárias são independentes.
Mas como não foi especificado o número de dias, vou calcular apenas o valor esperado e a variância diários
e
.
Valor Esperado
:
Substituindo
:
Valor Esperado
:
Substituindo
:
Variância
:
Resposta
a)
b)
c) Os quantis são dados por
- Primeiro quartil (
): 1,5 - Mediana (
): aproximadamente 2,1213 - Terceiro quartil (
): aproximadamente 2,5981
d) Valor esperado diário
e variância diária