Suponha que a necessidade diária de um dado medicamento num dado hospital pode ser descrita pela v.a. com a seguinte função densidade de probabilidade:
á
(a) Determine o valor de c para ser uma função de densidade de probabilidade…
(b) Calcule a .
© Encontre uma expressão para os quantil p. Calcule os quartis.
(d) Calcule o valor esperado e a variância para a necessidade mensal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função densidade de probabilidade para a necessidade diária de um medicamento num hospital. A questão tem quatro partes: encontrar o valor de para que a função seja uma densidade válida, calcular a probabilidade de estar entre 1 e 2, encontrar os quantis e calcular o valor esperado e a variância da necessidade mensal. Para isso, vamos precisar lembrar das propriedades das funções de densidade, integrar funções e entender conceitos de estatística como quantis, valor esperado e variância.

Passo 2

Parte (a): Determinar o valor de para ser uma função de densidade de probabilidade.
Primeiro, para que seja uma função de densidade válida, a área total sob a curva de deve ser igual a 1. Ou seja:
No nosso caso, para e zero caso contrário. Então, a integral fica:
Vamos resolver essa integral:
Igualando a 1:

Passo 3

Parte (b): Calcular .
A probabilidade de estar entre 1 e 2 é dada pela integral de de 1 a 2:
Sabemos que , então substituímos:

Passo 4

Parte ©: Encontrar uma expressão para os quantis e calcular os quartis.
O quantil é o valor tal que . Para encontrá-lo, primeiro precisamos da função de distribuição acumulada (CDF) :
Substituindo :
Para encontrar o quantil :
Agora, vamos calcular os quartis, que correspondem a (primeiro quartil), (mediana) e (terceiro quartil):
  • Primeiro quartil ( ):
  • Mediana ( ):
  • Terceiro quartil ( ):

Passo 5

Parte (d): Calcular o valor esperado e a variância para a necessidade mensal.
Primeiro, vamos lembrar que a necessidade mensal é a soma das necessidades diárias. Supondo que o mês tem dias, o valor esperado mensal será vezes o valor esperado diário , e a variância mensal será vezes a variância diária , pois as necessidades diárias são independentes.
Mas como não foi especificado o número de dias, vou calcular apenas o valor esperado e a variância diários e .
Valor Esperado :
Substituindo :
Valor Esperado :
Substituindo :
Variância :

Resposta

a)
b)
c) Os quantis são dados por
  • Primeiro quartil ( ): 1,5
  • Mediana ( ): aproximadamente 2,1213
  • Terceiro quartil ( ): aproximadamente 2,5981
d) Valor esperado diário e variância diária

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(a) Indique a função de probabilidade da v. a. .
(b) Determine o custo total esperado do projeto (variável ).
© Qual a probabilidade do projeto demorar no máximo 12 dias?
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