Suponha que a necessidade diária de um dado medicamento num dado hospital pode ser descrita pela v.a. X com a seguinte função densidade de probabilidade:
f(x)=lc c x2, & 0á
(a) Determine o valor de c para f ser uma função de densidade de probabilidade…
(b) Calcule a P(1.
© Encontre uma expressão para os quantil p. Calcule os quartis.
(d) Calcule o valor esperado e a variância para a necessidade mensal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função densidade de probabilidade para a necessidade diária de um medicamento num hospital. A questão tem quatro partes: encontrar o valor de para que a função seja uma densidade válida, calcular a probabilidade de estar entre 1 e 2, encontrar os quantis e calcular o valor esperado e a variância da necessidade mensal. Para isso, vamos precisar lembrar das propriedades das funções de densidade, integrar funções e entender conceitos de estatística como quantis, valor esperado e variância.

Passo 2

Parte (a): Determinar o valor de integral-infty^+infty f(x) , dx = 1 para integral0^3 c x2 , dx = 1 ser uma função de densidade de probabilidade.
Primeiro, para que c2 integral0^3 x , dx = c2 [ x^22 ]0^3 = c2 ( 92 - 0 ) = c cdot 94 = 9c4 seja uma função de densidade válida, a área total sob a curva de 9c4 = 1 implies c = 49 deve ser igual a 1. Ou seja:
No nosso caso, para e zero caso contrário. Então, a integral fica:
Vamos resolver essa integral:
Igualando a 1:

Passo 3

Parte (b): Calcular P(1 < X < 2) = integral1^2 f(x) , dx = integral1^2 c x2 , dx .
A probabilidade de P(1 < X < 2) = 49 cdot 12 integral1^2 x , dx = 29 [ x^22 ]1^2 = 29 ( 42 - 12 ) = 29 cdot 32 = 39 = 13 estar entre 1 e 2 é dada pela integral de de 1 a 2:
Sabemos que , então substituímos:

Passo 4

Parte ©: Encontrar uma expressão para os quantis F(x) = integral0^x f(t) , dt = integral0^x c t2 , dt = c2 cdot x^22 = c x^24 e calcular os quartis.
O quantil F(x) = 49 cdot x^24 = x^29 é o valor F(xp) = p implies xp^29 = p implies xp = raiz9p = 3raizp tal que x0,25 = 3raiz0,25 = 3 times 0,5 = 1,5 . Para encontrá-lo, primeiro precisamos da função de distribuição acumulada (CDF) x0,5 = 3raiz0,5 approx 3 times 0,7071 approx 2,1213 :
x0,75 = 3raiz0,75 approx 3 times 0,8660 approx 2,5981
Substituindo :
Para encontrar o quantil :
Agora, vamos calcular os quartis, que correspondem a (primeiro quartil), (mediana) e (terceiro quartil):
  • Primeiro quartil ( ):
  • Mediana ( ):
  • Terceiro quartil ( ):

Passo 5

Parte (d): Calcular o valor esperado e a variância para a necessidade mensal.
Primeiro, vamos lembrar que a necessidade mensal é a soma das necessidades diárias. Supondo que o mês tem E(X) = integral0^3 x f(x) , dx = integral0^3 x cdot c x2 , dx = c2 integral0^3 x^2 , dx = c2 [ x^33 ]0^3 = c2 cdot 273 = c2 cdot 9 = 9c2 dias, o valor esperado mensal E(X) = 9 cdot 492 = 42 = 2 será E(X^2) = integral0^3 x^2 f(x) , dx = integral0^3 x^2 cdot c x2 , dx = c2 integral0^3 x^3 , dx = c2 [ x^44 ]0^3 = c2 cdot 814 = 81c8 vezes o valor esperado diário E(X^2) = 81 cdot 498 = 368 = 4,5 , e a variância mensal Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 4,5 - (2)^2 = 4,5 - 4 = 0,5 será vezes a variância diária , pois as necessidades diárias são independentes.
Mas como não foi especificado o número de dias, vou calcular apenas o valor esperado e a variância diários e .
Valor Esperado :
Substituindo :
Valor Esperado :
Substituindo :
Variância :

Resposta

a)
b)
c) Os quantis são dados por
  • Primeiro quartil ( ): 1,5
  • Mediana ( ): aproximadamente 2,1213
  • Terceiro quartil ( ): aproximadamente 2,5981
d) Valor esperado diário e variância diária

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