Em uma empresa que fabrica seringas,
das seringas produzidas possuem algum defeito. Qual é a probabilidade de ao selecionar 3 seringas, no máximo uma seringa possuir algum defeito?
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma empresa que faz seringas e sabe que
delas têm algum defeito. O exercício pede pra gente descobrir qual a probabilidade de, ao escolher 3 seringas, no máximo uma delas ter defeito. Isso envolve conceitos de probabilidade, mais especificamente a distribuição binomial, que é útil pra calcular probabilidades em situações com ensaios independentes e duas opções, como “defeito” ou “não defeito”.
Passo 2
Primeiro, a gente vai entender o que significa “no máximo uma”. Isso inclui duas possibilidades: nenhuma seringa com defeito ou exatamente uma seringa com defeito. Vamos calcular essas duas probabilidades separadamente e depois somar.
Passo 3
Vamos começar calculando a probabilidade de nenhuma seringa ter defeito. A chance de uma seringa NÃO ter defeito é
. Como são 3 seringas, a probabilidade de todas não terem defeito é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a probabilidade de exatamente uma seringa ter defeito. Isso pode acontecer de 3 jeitos diferentes (a primeira com defeito, a segunda, ou a terceira). A fórmula para isso é:
Aqui, multiplicamos por 3 porque há 3 posições possíveis para a seringa defeituosa.
Passo 5
Por fim, somamos as duas probabilidades para obter a chance de no máximo uma seringa ter defeito:
Resposta
Calculando os valores:
Portanto, a probabilidade de, ao selecionar 3 seringas, no máximo uma ter defeito é aproximadamente
ou
.
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Considere o vetor aleatório
que representa o número de consultas anuais que um grupo de usuários requereu no serviço público
e no serviço privado
, caracterizado pela seguinte função de probabilidade conjunta.
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2 | 3 | 4 | ||
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1 |
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0 |
2 |
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0 |
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3 |
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0 |
(a) Obtenha as funções de probabilidade marginais e as funções de distribuição marginais do número de consultas no serviço público e no serviço privado.
(b) Determine a probabilidade de, ao escolher um usuário ao acaso, este ter tido um produto do número de consultas par.
© Qual a probabilidade de um usuário selecionado ao acaso ter tido no máximo 2 consultas no serviço público e no máximo 3 no serviço privado?
(d) Construa a função de probabilidade do número de consultas no serviço privado, apenas para os usuários que tiveram 2 consultas no público.
(e) Calcule a probabilidade de, ao escolher ao acaso, um usuário de entre os que tiveram 3 ou mais consultas no serviço privado, este ter tido 3 consultas no serviço público.
(f) Determine a probabilidade de um usuário, escolhido ao acaso, ter tido 3 consultas no serviço público.
(g) Qual a probabilidade de, ao escolher um usuário ao acaso, este ter tido 2 consultas no serviço privado, sabendo que teve menos de 6 consultas, ou seja, ?
(h) Será que o número de consultas no serviço público é independente do número de consultas no serviço privado? Justifique.
(b) Determine a probabilidade de, ao escolher um usuário ao acaso, este ter tido um produto do número de consultas par.
© Qual a probabilidade de um usuário selecionado ao acaso ter tido no máximo 2 consultas no serviço público e no máximo 3 no serviço privado?
(d) Construa a função de probabilidade do número de consultas no serviço privado, apenas para os usuários que tiveram 2 consultas no público.
(e) Calcule a probabilidade de, ao escolher ao acaso, um usuário de entre os que tiveram 3 ou mais consultas no serviço privado, este ter tido 3 consultas no serviço público.
(f) Determine a probabilidade de um usuário, escolhido ao acaso, ter tido 3 consultas no serviço público.
(g) Qual a probabilidade de, ao escolher um usuário ao acaso, este ter tido 2 consultas no serviço privado, sabendo que teve menos de 6 consultas, ou seja,
(h) Será que o número de consultas no serviço público é independente do número de consultas no serviço privado? Justifique.
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. Se forem implantados quatro embriões, qual será a probabilidade de que todos os três tenham êxito, considerando eventos independentes?