Um certo nível sonoro é elevado em . Mostre que (a) a sua intensidade aumenta de um fator de 1000 e (b) sua amplitude de pressão aumenta de um fator de 32.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que um nível sonoro aumenta em 30 dB. Temos que mostrar duas coisas: (a) que a intensidade do som aumenta 1000 vezes e (b) que a amplitude de pressão aumenta 32 vezes. Vamos usar conceitos de decibéis, intensidade sonora e amplitude de pressão para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são decibéis (dB). Decibéis são uma unidade usada para medir níveis de som de forma logarítmica. A fórmula para relacionar decibéis e intensidade sonora é:
Onde:
  • é o nível de som em decibéis.
  • é a intensidade sonora.
  • é a intensidade de referência.
Queremos saber como a intensidade ( ) muda quando o nível de som aumenta em 30 dB.

Passo 3

Vamos reorganizar a fórmula para encontrar a relação entre as intensidades antes e depois do aumento:
Dividindo ambos os lados por 10:
Agora, para tirar o logaritmo, usamos a potência de 10:
Isso mostra que a intensidade aumenta 1000 vezes quando o nível de som aumenta 30 dB.

Passo 4

Agora, vamos ver como a amplitude de pressão ( ) está relacionada à intensidade . A relação é dada por:
Onde:
  • é a densidade do meio.
  • é a velocidade do som no meio.
Para simplificar, podemos ver que a intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude de pressão:
Então, se a intensidade aumenta 1000 vezes:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Arredondando, a amplitude de pressão aumenta aproximadamente 32 vezes.

Resposta

(a) A intensidade aumenta 1000 vezes; (b) A amplitude de pressão aumenta 32 vezes.

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