Usando os Teoremas de Gauss e Stokes transforme as equações de Maxwell da forma diferencial para a forma de integrais de linha e superfície.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para transformar as equações de Maxwell da forma diferencial para a forma integral usando os Teoremas de Gauss e de Stokes. Ou seja, vamos pegar as equações que estão em termos de derivadas (diferenciais) e reescrever elas como integrais sobre superfícies ou volumes. Para isso, vamos precisar entender o que são os Teoremas de Gauss e de Stokes e como aplicar cada um deles nas diferentes equações de Maxwell.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência. Esse teorema nos ajuda a transformar uma integral de volume que envolve a divergente de um campo vetorial em uma integral de superfície desse campo sobre a fronteira do volume. A fórmula do Teorema de Gauss é:
Onde:
-
é o volume. -
é a superfície que delimita o volume . -
é um campo vetorial. -
é o vetor área na superfície.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o Teorema de Stokes. Esse teorema transforma uma integral de superfície que envolve o rotacional de um campo vetorial em uma integral de linha desse campo ao redor da borda da superfície. A fórmula do Teorema de Stokes é:
Onde:
-
é a superfície. -
é a curva que delimita a superfície . -
é um campo vetorial. -
é o elemento de caminho ao longo da curva.
Passo 4
Agora, vamos aplicar esses teoremas nas equações de Maxwell na forma diferencial. As equações de Maxwell na forma diferencial são:
- Lei de Gauss para o campo elétrico:
- Lei de Gauss para o magnetismo:
- Lei de Faraday da indução:
- Lei de Ampère-Maxwell:
Passo 5
Vamos começar com as leis de Gauss. Elas envolvem a divergente dos campos elétrico e magnético, então usaremos o Teorema de Gauss para transformá-las em integrais de superfície.
-
Lei de Gauss para o campo elétrico:Aplicando o Teorema de Gauss:Substituindo na equação de Maxwell:Ou seja, o fluxo elétrico através da superfície é igual à carga total dentro do volume dividida por
. -
Lei de Gauss para o magnetismo:Aplicando o Teorema de Gauss:Isso significa que não há monopolos magnéticos; o fluxo magnético total através de qualquer superfície fechada é zero.
Passo 6
Agora, vamos transformar as leis de Faraday e Ampère-Maxwell, que envolvem o rotacional dos campos elétrico e magnético. Para isso, usaremos o Teorema de Stokes.
-
Lei de Faraday da indução:Aplicando o Teorema de Stokes:Substituindo na equação de Maxwell:Isso relaciona a força eletromotriz ao redor de uma curva com a variação do fluxo magnético através da superfície.
-
Lei de Ampère-Maxwell:Aplicando o Teorema de Stokes:Substituindo na equação de Maxwell:Isso mostra que a circulação do campo magnético é relacionada à corrente elétrica e à variação do fluxo elétrico.
Resposta
Transformamos as equações de Maxwell da forma diferencial para a forma integral usando os Teoremas de Gauss e de Stokes. As formas integrais resultantes são:
-
Lei de Gauss para o campo elétrico:
-
Lei de Gauss para o magnetismo:
-
Lei de Faraday da indução:
-
Lei de Ampère-Maxwell:
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