Em certo país, apenas 25 % das mulheres adultas que não possuem plano de saúde, realizam ao menos um exame médico, por ano. Num levantamento com 400 mulheres daquele país que possuem plano de saúde, observou-se que 122 realizaram exames. Teste a hipótese mais adequada considerando alfa =1 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma situação no mundo da estatística, mais especificamente sobre teste de hipóteses para proporções. A gente quer saber se a porcentagem de mulheres que fazem pelo menos um exame médico ao ano é diferente da taxa geral de 25%, mas agora focando nas que têm plano de saúde. Vamos usar essas informações para testar nossa hipótese com um nível de significância de 1%.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar. No teste de hipóteses para proporções, temos:
  • Hipótese Nula ( H0): A proporção de mulheres com plano de saúde que fazem exames é igual a 25%, ou seja, $ p = 0,25 $.
  • Hipótese Alternativa ( p = 0,25 ): A proporção é diferente de 25%, então $ p \neq 0,25 $.

Passo 3

Agora, vamos verificar se podemos usar o teste normal para proporções. Precisamos checar se os valores $ np_0 $ e $ n(1 - p_0) $ são maiores ou iguais a 5, onde $ n $ é o tamanho da amostra e $ p_0 $ é a proporção sob a hipótese nula.
Calculando:
np0
n(1 - p0)
Como ambos são maiores que 5, podemos prosseguir com o teste.

Passo 4

Vamos calcular a estatística de teste, que no caso de proporções é a distribuição normal padronizada (z):
p = 122400 = 0,305
A estatística de teste é:
z = p - p0raizp0(1 - p0)n
Substituindo os valores:
z = 0,305 - 0,25raiz0,25 times 0,75400
z = 0,055raiz0,1875400
z = 0,055raiz0,00046875
z = 0,0550,02165
z approx 2,54

Passo 5

Agora, vamos determinar o valor crítico para um teste bilaterial com alpha = 1%. Como é bilateral, dividimos alpha por 2 para cada lado da distribuição.
O valor crítico $ z_{\alpha/2} $ para zalpha/2 é aproximadamente 2,58.

Passo 6

Comparamos o valor calculado de $ z $ com o valor crítico:
  • Se $ |z| > z_{\alpha/2} $, rejeitamos $ H_0 $.
  • Se $ |z| \leq z_{\alpha/2} $, não rejeitamos $ H_0 $.
No nosso caso:
z
Então, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com um nível de significância de 1%, não há evidências suficientes para concluir que a proporção de mulheres com plano de saúde que realizam ao menos um exame médico por ano difere de 25%.

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