Uma urna contém 5 bolas brancas, 4 vermelhas e 3 azuis. Extraem-se simultaneamente 3 bolas. Achar a probabilidade de que:
a. Nenhuma seja vermelha
b. Exatamente uma seja vermelha
c. Todas sejam da mesma cor.

Passo 1

Vamos resolver um problema de probabilidade envolvendo combinações. Temos uma urna com 5 bolas brancas, 4 vermelhas e 3 azuis, totalizando 12 bolas. Vamos extrair 3 bolas de uma vez e calcular as probabilidades para diferentes cenários relacionados às bolas vermelhas.

Passo 2

Para resolver esse tipo de problema, usamos combinações, que nos dizem de quantas maneiras podemos escolher elementos de um conjunto sem se importar com a ordem. A fórmula da combinação é dada por:
binomnk = n!k!(n-k)!
onde é o número total de elementos e é o número de elementos a serem escolhidos.
A probabilidade será calculada dividindo o número de casos favoráveis pelo número total de casos possíveis.

Passo 3

a. Nenhuma seja vermelha
Queremos que nenhuma das 3 bolas extraídas seja vermelha. Isso significa que todas as bolas devem ser brancas ou azuis. Temos:
  • Total de bolas que não são vermelhas: 5 brancas + 3 azuis = 8 bolas.
  • Número total de maneiras de escolher 3 bolas de 12: .
  • Número de maneiras de escolher 3 bolas que não são vermelhas: .

Passo 4

Calculando a probabilidade:
P(a) = binom83binom123 = 8!3!5!12!3!9! = 56220 = 1455 approx 0,2545

Passo 5

b. Exatamente uma seja vermelha
Aqui, queremos que exatamente uma das bolas extraídas seja vermelha e as outras duas não. Temos:
  • Número de maneiras de escolher 1 bola vermelha: .
  • Número de maneiras de escolher 2 bolas que não são vermelhas: .
  • Número total de casos favoráveis: .

Passo 6

Calculando a probabilidade:
P(b) = binom41 times binom82binom123 = 4 times 28220 = 112220 = 2855 approx 0,5091

Passo 7

c. Todas sejam da mesma cor
Neste caso, as 3 bolas extraídas devem todas ser brancas, todas vermelhas ou todas azuis. Calculamos cada possibilidade:
  • Todas brancas: .
  • Todas vermelhas: .
  • Todas azuis: .
Somamos essas possibilidades para obter o número total de casos favoráveis.

Passo 8

Calculando a probabilidade:
P(c) = binom53 + binom43 + binom33binom123 = 10 + 4 + 1220 = 15220 = 344 approx 0,0682

Resposta

a. A probabilidade de nenhuma bola ser vermelha é .
b. A probabilidade de exatamente uma bola ser vermelha é .
c. A probabilidade de todas as bolas serem da mesma cor é .

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