Uma chaminé alta, de altura L, racha próximo à base e cai. Expresse as acelerações angular e tangencial do topo da chaminé como função do ângulo theta formado pela chaminé com a vertical. A aceleração tangencial de algum ponto da chaminé pode exceder a g ? Explique como a chaminé pode quebrar durante a queda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma chaminé alta que rachou próximo à base e está caindo. A gente precisa encontrar as acelerações angular e tangencial do topo da chaminé em função do ângulo theta que ela forma com a vertical. Além disso, tem que verificar se a aceleração tangencial em algum ponto pode ser maior que a aceleração da gravidade g e explicar como isso pode fazer a chaminé quebrar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional e dinâmica de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos modelar a chaminé como uma haste rígida que está girando em torno do ponto onde rachou, que é a base. Imagine uma vareta girando em cima de uma mesa; a chaminé está fazendo algo similar enquanto cai.

Passo 3

Para achar a aceleração angular ( alpha), precisamos relacionar o torque ( tau) causado pela gravidade com o momento de inércia ( I) da chaminé. O torque é a força da gravidade tentando girar a chaminé.
A fórmula do torque é:
tau = m cdot g cdot L2 cdot sin(theta)
Aqui, m é a massa da chaminé, g é a aceleração da gravidade, L é a altura da chaminé, e theta é o ângulo com a vertical.

Passo 4

O momento de inércia ( I) para uma haste rígida girando em torno de uma de suas extremidades é:
I = 13 m L^2
Isso nos diz quão “dura” é a chaminé para começar a girar.

Passo 5

Agora, podemos encontrar a aceleração angular ( alpha) usando a relação entre torque e momento de inércia:
alpha = tauI = m g L2 sin(theta)13 m L^2 = 3 g sin(theta)2 L
Legal, então a aceleração angular depende do seno do ângulo theta e é inversamente proporcional à altura L da chaminé.

Passo 6

A aceleração tangencial ( at) no topo da chaminé é a aceleração linear que o ponto de maior distância do pivô (base) está experimentando. Ela está relacionada à aceleração angular pela fórmula:
at = alpha cdot L = 3 g sin(theta)2 L cdot L = 3 g sin(theta)2
Então, a aceleração tangencial também depende do seno do ângulo theta.

Passo 7

Agora, vamos verificar se a aceleração tangencial pode exceder g. O seno de theta tem um valor máximo de 1 (quando theta = 90^circ):
at^máx = 3 g cdot 12 = 32 g á
Isso significa que a aceleração tangencial no topo da chaminé pode ser até 1,5g, que é maior que g.

Passo 8

Como a aceleração tangencial pode superar a aceleração da gravidade, isso significa que as forças internas na chaminé aumentam além do que ela pode suportar estruturalmente. Esse excesso de força pode causar fissuras ou até a quebra completa da chaminé durante a queda.

Resposta

As acelerações são dadas por:
alpha = 3 g sin(theta)2 L
e
at = 3 g sin(theta)2
Além disso, a aceleração tangencial pode exceder g, o que pode levar à quebra da chaminé durante a queda.

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