Uma chaminé alta, de altura
, racha próximo à base e cai. Expresse as acelerações angular e tangencial do topo da chaminé como função do ângulo
formado pela chaminé com a vertical. A aceleração tangencial de algum ponto da chaminé pode exceder a
? Explique como a chaminé pode quebrar durante a queda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma chaminé alta que rachou próximo à base e está caindo. A gente precisa encontrar as acelerações angular e tangencial do topo da chaminé em função do ângulo
que ela forma com a vertical. Além disso, tem que verificar se a aceleração tangencial em algum ponto pode ser maior que a aceleração da gravidade
e explicar como isso pode fazer a chaminé quebrar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional e dinâmica de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos modelar a chaminé como uma haste rígida que está girando em torno do ponto onde rachou, que é a base. Imagine uma vareta girando em cima de uma mesa; a chaminé está fazendo algo similar enquanto cai.
Passo 3
Para achar a aceleração angular (
), precisamos relacionar o torque (
) causado pela gravidade com o momento de inércia (
) da chaminé. O torque é a força da gravidade tentando girar a chaminé.
A fórmula do torque é:
Aqui,
é a massa da chaminé,
é a aceleração da gravidade,
é a altura da chaminé, e
é o ângulo com a vertical.
Passo 4
O momento de inércia (
) para uma haste rígida girando em torno de uma de suas extremidades é:
Isso nos diz quão “dura” é a chaminé para começar a girar.
Passo 5
Agora, podemos encontrar a aceleração angular (
) usando a relação entre torque e momento de inércia:
Legal, então a aceleração angular depende do seno do ângulo
e é inversamente proporcional à altura
da chaminé.
Passo 6
A aceleração tangencial (
) no topo da chaminé é a aceleração linear que o ponto de maior distância do pivô (base) está experimentando. Ela está relacionada à aceleração angular pela fórmula:
Então, a aceleração tangencial também depende do seno do ângulo
.
Passo 7
Agora, vamos verificar se a aceleração tangencial pode exceder
. O seno de
tem um valor máximo de 1 (quando
):
Isso significa que a aceleração tangencial no topo da chaminé pode ser até
, que é maior que
.
Passo 8
Como a aceleração tangencial pode superar a aceleração da gravidade, isso significa que as forças internas na chaminé aumentam além do que ela pode suportar estruturalmente. Esse excesso de força pode causar fissuras ou até a quebra completa da chaminé durante a queda.
Resposta
As acelerações são dadas por:
e
Além disso, a aceleração tangencial pode exceder
, o que pode levar à quebra da chaminé durante a queda.