Uma fita de massa desprezível é enrolada em volta de um cilindro de massa M e de raio R. A fita é puxada verticalmente para cima, a uma velocidade que, a cada instante, evita que o centro de massa se desloque, enquanto o cilindro está sendo desenrolado. a) Qual é a tensão na fita? b) Qual é o trabalho realizado sobre o cilindro quando ele atinge uma velocidade angurar omega ? c) Qual é o comprimento da fita desenrolada durante este período?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cilindro com massa M e raio R, enrolado por uma fita sem massa. A fita está sendo puxada pra cima com uma certa velocidade, de modo que o centro de massa do cilindro não se move. A gente vai precisar usar conceitos de dinâmica rotacional e trabalho. Vamos resolver as partes a), b) e c) passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que como o centro de massa não se move, a aceleração linear do cilindro é zero. Isso significa que a força que a fita exerce para cima (a tensão T) equilibrará o peso do cilindro. Então, temos:
T = M cdot g
Onde g é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Agora, para garantir que o cilindro esteja girando sem se mover para cima, precisamos relacionar a força de tensão com o torque que ela gera no cilindro. O torque ( tau) é dado por:
tau = T cdot R
E o torque também é relacionado ao momento de inércia ( I) e à aceleração angular ( alpha):
tau = I cdot alpha
Para um cilindro sólido, o momento de inércia é:
I = 12 M R^2

Passo 4

Como a aceleração linear é zero, a aceleração angular está relacionada à velocidade angular omega pela equação:
alpha = domegadt
Mas como a velocidade angular é constante quando o cilindro atinge omega, a aceleração angular também é zero. Isso confirma que a tensão T é igual ao peso M cdot g.

Passo 5

Agora, para a parte b), queremos saber o trabalho realizado sobre o cilindro quando ele atinge a velocidade angular omega. O trabalho ( W) é dado pela energia cinética rotacional:
W = 12 I omega^2
Substituindo o momento de inércia:
W = 12 cdot 12 M R^2 cdot omega^2
W = 14 M R^2 omega^2

Passo 6

Por fim, para a parte c), precisamos encontrar o comprimento da fita desenrolada durante esse período. Sabemos que o comprimento desenrolado ( L) está relacionado ao ângulo girado ( theta) pelo cilindro:
L = R cdot theta
A velocidade linear ( v) da fita é relacionada à velocidade angular pela equação:
v = R cdot omega
Como a fita está sendo puxada com velocidade constante, podemos integrar para encontrar o comprimento desenrolado. Se o cilindro atinge a velocidade angular omega em um tempo t, então:
L = v cdot t = R cdot omega cdot t

Resposta

a) A tensão na fita é T = M cdot g.

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