Uma fita de massa desprezível é enrolada em volta de um cilindro de massa
e de raio
. A fita é puxada verticalmente para cima, a uma velocidade que, a cada instante, evita que o centro de massa se desloque, enquanto o cilindro está sendo desenrolado. a) Qual é a tensão na fita? b) Qual é o trabalho realizado sobre o cilindro quando ele atinge uma velocidade angurar
? c) Qual é o comprimento da fita desenrolada durante este período?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cilindro com massa
e raio
, enrolado por uma fita sem massa. A fita está sendo puxada pra cima com uma certa velocidade, de modo que o centro de massa do cilindro não se move. A gente vai precisar usar conceitos de dinâmica rotacional e trabalho. Vamos resolver as partes a), b) e c) passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que como o centro de massa não se move, a aceleração linear do cilindro é zero. Isso significa que a força que a fita exerce para cima (a tensão
) equilibrará o peso do cilindro. Então, temos:
Onde
Passo 3
Agora, para garantir que o cilindro esteja girando sem se mover para cima, precisamos relacionar a força de tensão com o torque que ela gera no cilindro. O torque (
) é dado por:
E o torque também é relacionado ao momento de inércia (
Para um cilindro sólido, o momento de inércia é:
Passo 4
Como a aceleração linear é zero, a aceleração angular está relacionada à velocidade angular
pela equação:
Mas como a velocidade angular é constante quando o cilindro atinge
Passo 5
Agora, para a parte b), queremos saber o trabalho realizado sobre o cilindro quando ele atinge a velocidade angular
. O trabalho (
) é dado pela energia cinética rotacional:
Substituindo o momento de inércia:
Passo 6
Por fim, para a parte c), precisamos encontrar o comprimento da fita desenrolada durante esse período. Sabemos que o comprimento desenrolado (
) está relacionado ao ângulo girado (
) pelo cilindro:
A velocidade linear (
Como a fita está sendo puxada com velocidade constante, podemos integrar para encontrar o comprimento desenrolado. Se o cilindro atinge a velocidade angular
em um tempo
, então:
Resposta
a) A tensão na fita é
.