Uma esfera sólida de 3.6 kg rola para cima de um plano inclinado de 30^circ em relação à horizontal. Na base do plano, o centro de massa da esfera possui uma velocidade igual a 4.8 m / s. a) Calcule a energia cinética da esfera na base do plano. b) Até que distância, ao longo do plano, a esfera sobe? Esta resposta depende do peso da esfera?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera sólida de massa 3.6,kg que está rolando para cima de um plano inclinado que faz um ângulo de 30^circ com a horizontal. Na base do plano, o centro de massa da esfera tem uma velocidade de 4.8,m/s. A pergunta tem duas partes:
a) Calcular a energia cinética da esfera na base do plano.
b) Descobrir até que distância, ao longo do plano, a esfera sobe e se essa distância depende do peso da esfera.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética, energia potencial gravitacional e conservação de energia.

Passo 2

Vamos começar pela parte a) que pede para calcular a energia cinética da esfera na base do plano. A energia cinética ( Ec) de um objeto em movimento é dada pela fórmula:
Ec = 12 m v^2
onde m é a massa e v é a velocidade.

Passo 3

Substituindo os valores fornecidos na fórmula:
Ec = 12 times 3.6,kg times (4.8,m/s)^2

Passo 4

Calculando o quadrado da velocidade:
(4.8,m/s)^2 = 23.04,m^2/s^2

Passo 5

Agora, multiplicando os valores:
Ec = 12 times 3.6,kg times 23.04,m^2/s^2
Ec = 1.8,kg times 23.04,m^2/s^2
Ec = 41.472,J

Passo 6

Arredondando para duas casas decimais, a energia cinética é aproximadamente 41.47,J.

Passo 7

Agora, vamos para a parte b) que pergunta até que distância a esfera sobe ao longo do plano inclinado. Quando a esfera sobe, sua energia cinética é convertida em energia potencial gravitacional ( Ep). A relação de conservação de energia nos diz que:
Ec = Ep
A energia potencial é dada por:
Ep = m g h
onde g é a aceleração da gravidade ( 9.8,m/s^2) e h é a altura alcançada.

Passo 8

Vamos relacionar a altura h com a distância d ao longo do plano inclinado usando o ângulo de 30^circ:
h = d times sin(30^circ)
Sabemos que sin(30^circ) = 0.5, então:
h = 0.5 d

Passo 9

Igualando as energias:
12 m v^2 = m g h
Podemos cancelar a massa m dos dois lados:
12 v^2 = g h

Passo 10

Substituindo h por 0.5 d:
12 v^2 = g times 0.5 d
Simplificando:
12 v^2 = 0.5 g d
v^2 = g d

Passo 11

Resolvendo para d:
d = v^2g

Passo 12

Substituindo os valores:
d = (4.8,m/s)^29.8,m/s^2
d = 23.04,m^2/s^29.8,m/s^2
d approx 2.35,m

Passo 13

Quanto à segunda parte da pergunta b), notamos que a distância d não depende do peso da esfera porque a massa foi cancelada na equação. Isso significa que, independentemente do peso da esfera, desde que a velocidade inicial seja a mesma, a distância percorrida será a mesma.

Resposta

a) A energia cinética da esfera na base do plano é aproximadamente 41.47,J.
b) A esfera sobe aproximadamente 2.35,m ao longo do plano, e essa distância não depende do peso da esfera.

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