Uma esfera sólida de
rola para cima de um plano inclinado de
em relação à horizontal. Na base do plano, o centro de massa da esfera possui uma velocidade igual a
. a) Calcule a energia cinética da esfera na base do plano. b) Até que distância, ao longo do plano, a esfera sobe? Esta resposta depende do peso da esfera?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera sólida de massa
que está rolando para cima de um plano inclinado que faz um ângulo de
com a horizontal. Na base do plano, o centro de massa da esfera tem uma velocidade de
. A pergunta tem duas partes:
a) Calcular a energia cinética da esfera na base do plano.
b) Descobrir até que distância, ao longo do plano, a esfera sobe e se essa distância depende do peso da esfera.
a) Calcular a energia cinética da esfera na base do plano.
b) Descobrir até que distância, ao longo do plano, a esfera sobe e se essa distância depende do peso da esfera.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética, energia potencial gravitacional e conservação de energia.
Passo 2
Vamos começar pela parte a) que pede para calcular a energia cinética da esfera na base do plano. A energia cinética (
) de um objeto em movimento é dada pela fórmula:
onde
Passo 3
Substituindo os valores fornecidos na fórmula:
Passo 4
Calculando o quadrado da velocidade:
Passo 5
Agora, multiplicando os valores:
Passo 6
Arredondando para duas casas decimais, a energia cinética é aproximadamente
.
Passo 7
Agora, vamos para a parte b) que pergunta até que distância a esfera sobe ao longo do plano inclinado. Quando a esfera sobe, sua energia cinética é convertida em energia potencial gravitacional (
). A relação de conservação de energia nos diz que:
A energia potencial é dada por:
onde
é a aceleração da gravidade (
) e
é a altura alcançada.
Passo 8
Vamos relacionar a altura
com a distância
ao longo do plano inclinado usando o ângulo de
:
Sabemos que
Passo 9
Igualando as energias:
Podemos cancelar a massa
Passo 10
Substituindo
por
:
Simplificando:
Passo 11
Resolvendo para
:
Passo 12
Substituindo os valores:
Passo 13
Quanto à segunda parte da pergunta b), notamos que a distância
não depende do peso da esfera porque a massa foi cancelada na equação. Isso significa que, independentemente do peso da esfera, desde que a velocidade inicial seja a mesma, a distância percorrida será a mesma.
Resposta
a) A energia cinética da esfera na base do plano é aproximadamente
.
b) A esfera sobe aproximadamente ao longo do plano, e essa distância não depende do peso da esfera.
b) A esfera sobe aproximadamente