Suponha que f(x)=0,5 cos x, para -pi2 <= x <= pi2. Determine a função acumulada de probabilidade e Calcule
14a
(a) P(X<0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de densidade de probabilidade no intervalo . Nosso objetivo é encontrar a função acumulada de probabilidade (CDF) e calcular a probabilidade . Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral para integrar a função de densidade e obter a CDF.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função acumulada de probabilidade (CDF). A CDF, denotada por F(x) = P(X <= x) = integral-pi2^x f(t) , dt , nos dá a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a um certo valor . Matematicamente, é expressa como:
Então, para encontrar , precisamos integrar a função de densidade de até .

Passo 3

Vamos realizar a integração da função F(x) = integral-pi2^x 0,5 cos t , dt :
F(x) = 0,5 [ sin t ]-pi2^x = 0,5 ( sin x - sin(-pi2) )
A integral de F(x) = 0,5 ( sin x - (-1) ) = 0,5 (sin x + 1) é , então:
Sabemos que , então substituindo:

Passo 4

Agora que temos a função acumulada de probabilidade F(0) = 0,5 (sin 0 + 1) , podemos calcular F(0) = 0,5 (0 + 1) = 0,5 times 1 = 0,5 , que é igual a :
Sabemos que , então:

Resposta

A probabilidade é igual a 0,5.

Exercícios relacionados