Uma chapa de alumínio e está submetida a um força axial que causa uma tensão normal . Sabendo que antes do carregamento uma reta inscrita na chapa tem inclinação 2:1, determine essa inclinação quando .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão nos pede. Temos uma chapa de alumínio com módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson . Ela está sendo submetida a uma força axial que gera uma tensão normal . Antes de aplicar essa força, uma linha na chapa tem uma inclinação de 2:1. A pergunta é: qual será essa inclinação quando a tensão for de ?
Para resolver isso, vamos precisar entender como as tensões causam deformações na chapa e como isso afeta a inclinação de uma linha desenhada nela. Vamos usar conceitos de tensão, deformação e geometria da deformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a tensão axial afeta a deformação na chapa. A tensão axial gera uma deformação linear, que pode ser calculada usando a fórmula da lei de Hooke para tensão:
onde:
  • é a deformação (strain),
  • é a tensão,
  • é o módulo de elasticidade.
Vamos calcular a deformação para :

Passo 3

Além da deformação axial, a chapa também sofre uma deformação lateral devido ao efeito de Poisson. A deformação lateral pode ser calculada usando:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos considerar como essas deformações afetam a inclinação da linha. Inicialmente, a linha tem uma inclinação de 2:1, o que significa que a tangente do ângulo de inclinação é:
Após a deformação, a extensão na direção do esforço e a contração lateral alteram a geometria da linha. A nova inclinação será influenciada pelas deformações longitudinal e lateral .

Passo 5

Para encontrar a nova inclinação, precisamos calcular as mudanças nas coordenadas da linha devido às deformações. Suponha que um segmento da linha tenha comprimento original unidade na direção horizontal e unidades na vertical.
Após a deformação:
  • A direção horizontal sofre uma deformação de , então o novo comprimento horizontal .
  • A direção vertical sofre uma deformação de , então o novo comprimento vertical .
Vamos calcular:

Passo 6

A nova inclinação é dada por:
Portanto, a inclinação da linha diminuiu um pouco devido à tensão aplicada.

Resposta

A inclinação da linha quando é aproximadamente 1,9965:1.

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Resp.:
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