Uma chapa de alumínio
e
está submetida a um força axial que causa uma tensão normal
. Sabendo que antes do carregamento uma reta inscrita na chapa tem inclinação 2:1, determine essa inclinação quando
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão nos pede. Temos uma chapa de alumínio com módulo de elasticidade
e coeficiente de Poisson
. Ela está sendo submetida a uma força axial que gera uma tensão normal
. Antes de aplicar essa força, uma linha na chapa tem uma inclinação de 2:1. A pergunta é: qual será essa inclinação quando a tensão
for de
?
Para resolver isso, vamos precisar entender como as tensões causam deformações na chapa e como isso afeta a inclinação de uma linha desenhada nela. Vamos usar conceitos de tensão, deformação e geometria da deformação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a tensão axial
afeta a deformação na chapa. A tensão axial gera uma deformação linear, que pode ser calculada usando a fórmula da lei de Hooke para tensão:
onde:
-
é a deformação (strain), -
é a tensão, -
é o módulo de elasticidade.
Vamos calcular a deformação
para
:
Passo 3
Além da deformação axial, a chapa também sofre uma deformação lateral devido ao efeito de Poisson. A deformação lateral
pode ser calculada usando:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos considerar como essas deformações afetam a inclinação da linha. Inicialmente, a linha tem uma inclinação de 2:1, o que significa que a tangente do ângulo de inclinação
é:
Após a deformação, a extensão na direção do esforço e a contração lateral alteram a geometria da linha. A nova inclinação
será influenciada pelas deformações longitudinal
e lateral
.
Passo 5
Para encontrar a nova inclinação, precisamos calcular as mudanças nas coordenadas da linha devido às deformações. Suponha que um segmento da linha tenha comprimento original
unidade na direção horizontal e
unidades na vertical.
Após a deformação:
- A direção horizontal sofre uma deformação de
, então o novo comprimento horizontal . - A direção vertical sofre uma deformação de
, então o novo comprimento vertical .
Vamos calcular:
Passo 6
A nova inclinação
é dada por:
Portanto, a inclinação da linha diminuiu um pouco devido à tensão aplicada.
Resposta
A inclinação da linha quando
é aproximadamente 1,9965:1.