O eixo abaixo consiste de um tubo A B e uma barra sólida B C. O tubo tem diâmetro interno de 20 mm e diâmetro externo de 28 mm . A barra tem diâmetro de 12 mm . Determine a tensão normal média nos pontos D e E e represente as tensões em cubos infinitesimais localizados em cada um destes pontos.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um eixo composto por um tubo e uma barra sólida . O tubo tem diâmetro interno de 20 mm e diâmetro externo de 28 mm, enquanto a barra sólida tem diâmetro de 12 mm. O que precisamos fazer é determinar a tensão normal média nos pontos e , e também representar essas tensões em cubos infinitesimais nesses pontos.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente sobre tensão normal e áreas de seção transversal. Vamos precisar calcular as áreas das seções nos pontos e e então aplicar a fórmula da tensão normal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é tensão normal. A tensão normal ( sigma = FA ) em um material é definida como a força aplicada perpendicularmente à área sobre a qual ela atua. A fórmula para calcular a tensão normal é:
onde:
  • é a tensão normal,
  • é a força perpendicular,
  • é a área da seção transversal.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da seção transversal no ponto AD = pi (R^2 - r^2) = pi (14^2 - 10^2) = pi (196 - 100) = pi times 96 , mm^2 , que está localizado no tubo . Como o tubo é oco, a área da seção transversal é a diferença entre a área do círculo maior (diâmetro externo) e a área do círculo menor (diâmetro interno).
Primeiro, calculamos os raios:
  • Raio externo ( ) =
  • Raio interno ( ) =
A área da seção transversal do tubo é:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a área da seção transversal no ponto AE = pi r^2 = pi times 6^2 = pi times 36 , mm^2 , que está na barra sólida . Como a barra é sólida, a área da seção transversal é simplesmente a área de um círculo com diâmetro de 12 mm.
Calculamos o raio:
  • Raio ( ) =
A área da seção transversal da barra é:

Passo 5

Agora, assumindo que a força axial sigmaD = FAD = F96pi , MPa que passa pelo eixo é a mesma em ambos os segmentos sigmaE = FAE = F36pi , MPa e (porque estão em série), podemos calcular a tensão normal em cada ponto usando a fórmula .
Portanto:

Resposta

A tensão normal média nos pontos e são, respectivamente, MPa e MPa. As tensões nos cubos infinitesimais em e são representadas por e nas direções normais às áreas de seção transversal.

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