Um tubo de latão ( alpha latão =20,9 times 10^-6 / ^circ C)ã é totalmente preso ao núcleo de aço (alpha aço =11,7 times 10^-6 / ^circ C)ç. Determine o maior aumento permitido na temperatura considerando que a tensão no núcleo de aço não deve exceder 55 MPa.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um tubo de latão totalmente preso a um núcleo de aço. Os dois materiais têm coeficientes de dilatação térmica diferentes. Queremos descobrir qual é o maior aumento de temperatura que podemos ter sem que a tensão no núcleo de aço ultrapasse 55 MPa. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dilatação térmica e tensão mecânica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o coeficiente de dilatação térmica. Ele indica quanto um material se expande quando há um aumento de temperatura. A fórmula básica para dilatação linear é:
De
Onde:
  • é a variação no comprimento,
  • é o comprimento inicial,
  • é o coeficiente de dilatação,
  • é a variação de temperatura.

Passo 3

Como o tubo de latão e o núcleo de aço estão presos juntos, eles não podem se expandir livremente. O latão, que tem um coeficiente de dilatação maior, tenta se expandir mais do que o aço quando a temperatura aumenta. Essa diferença de expansão gera uma tensão no núcleo de aço.

Passo 4

A tensão ( sigma = E cdot epsilon ) gerada no aço é relacionada à deformação ( ) e ao módulo de elasticidade ( ) do aço pela fórmula:

Passo 5

A deformação ( epsilon = (alphalatão - alphaaço) cdot De) causada pela diferença de dilatação entre o latão e o aço pode ser calculada por:
ãç
Onde ã e ç são os coeficientes de dilatação do latão e do aço, respectivamente.

Passo 6

Substituindo a expressão da deformação na fórmula da tensão, temos:
sigma = Eaço cdot (alphalatão - alphaaço) cdot Deçãç
Sabemos que a tensão máxima permitida é 55 MPa, então:
55 times 10^6 = Eaço cdot (20,9 times 10^-6 - 11,7 times 10^-6) cdot Deç

Passo 7

Precisamos do valor do módulo de elasticidade do aço. Geralmente, 55 times 10^6 = 210 times 10^9 cdot (9,2 times 10^-6) cdot Deç Pa.
Substituindo:

Passo 8

Agora, resolvendo para De:
De

Resposta

O maior aumento permitido na temperatura é aproximadamente .

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