Uma chapa fina está sujeita a puma radiação de micro-ondas e tem um aquecimento volumétrico que varia de acordo com a equação:
A espessura da chapa , é de e a condutividade térmica do material da chapa é igual a . O contorno em está perfeitamente isolado, enquanto a superfície em está mantida a uma temperatura constante de 320 K .
a) Determine uma expressão para em termos de e .
b) Onde ocorrerá a temperatura máxima na chapa?
c) Qual é o valor de R Resp.: 500 K
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede e identificar o que vamos precisar para resolver. Temos uma chapa fina de espessura sujeita a radiação de micro-ondas, com um aquecimento volumétrico que varia conforme a equação:
onde . A condutividade térmica da chapa é . A superfície em está a uma temperatura constante de , e em está isolada. Vamos precisar aplicar a equação de condução de calor com geração interna para encontrar a distribuição de temperatura .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de condução de calor com geração interna em uma dimensão, que é dada por:
Onde:
é a segunda derivada da temperatura em relação a .
é a taxa de geração de calor por unidade de volume.
é a condutividade térmica do material.
Passo 3
Substituindo a expressão de na equação de condução de calor, temos:
Essa é a equação diferencial que precisamos resolver para encontrar .
Passo 4
Vamos integrar a equação diferencial uma vez para encontrar a primeira derivada de :
Integrando, obtemos:
Onde é a constante de integração.
Passo 5
Agora, integramos novamente para encontrar a expressão para :
Onde é outra constante de integração.
Passo 6
Vamos aplicar as condições de contorno para determinar as constantes e .
Primeiro, em , a temperatura é :
Passo 7
Segundo, em , a chapa está isolada, ou seja, o fluxo de calor é zero. O fluxo de calor é dado por:
Portanto:
Substituindo na expressão da primeira derivada:
Simplificando:
Passo 8
Agora, substituindo e na expressão de :
Podemos simplificar essa expressão:
Ou de forma equivalente:
Passo 9
Portanto, a expressão para a distribuição de temperatura em termos de , , , e é: