Uma chapa fina está sujeita a puma radiação de micro-ondas e tem um aquecimento volumétrico que varia de acordo com a equação:
dotqG=dotq0[1-(xL)] e dotq0 tem valor constante de 180 kW / m^3
A espessura da chapa L, é de 0,06 m e a condutividade térmica do material da chapa é igual a 0,6 W / mK. O contorno em x=L está perfeitamente isolado, enquanto a superfície em x=0 está mantida a uma temperatura constante de 320 K .
a) Determine uma expressão para T(x) em termos de x, L, k, dotq0 e T0.
Resp: T(x)=T0+q0k L2[x-x^2L+x^33 L^2]
b) Onde ocorrerá a temperatura máxima na chapa?
c) Qual é o valor de Tmax R Resp.: 500 K

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede e identificar o que vamos precisar para resolver. Temos uma chapa fina de espessura dotqG = dotq0 [1 - (xL)] sujeita a radiação de micro-ondas, com um aquecimento volumétrico que varia conforme a equação:
onde . A condutividade térmica da chapa é . A superfície em está a uma temperatura constante de , e em está isolada. Vamos precisar aplicar a equação de condução de calor com geração interna para encontrar a distribuição de temperatura .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de condução de calor com geração interna em uma dimensão, que é dada por:
d^2 Tdx^2 = -dotqGk
Onde:
  • é a segunda derivada da temperatura em relação a .
  • é a taxa de geração de calor por unidade de volume.
  • é a condutividade térmica do material.

Passo 3

Substituindo a expressão de d^2 Tdx^2 = -dotq0 [1 - (xL)]k na equação de condução de calor, temos:
Essa é a equação diferencial que precisamos resolver para encontrar .

Passo 4

Vamos integrar a equação diferencial uma vez para encontrar a primeira derivada de dTdx = -dotq0k integral [1 - (xL)] dx + C1 :
dTdx = -dotq0k (x - x^22L) + C1
Integrando, obtemos:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, integramos novamente para encontrar a expressão para T(x) = -dotq0k (x^22 - x^36L) + C1 x + C2 :
Onde é outra constante de integração.

Passo 6

Vamos aplicar as condições de contorno para determinar as constantes T(0) = T0 = -dotq0k (0 - 0) + C1 cdot 0 + C2 Rightarrow C2 = T0 e .
Primeiro, em , a temperatura é :

Passo 7

Segundo, em -k dTdx|x=L = 0 , a chapa está isolada, ou seja, o fluxo de calor é zero. O fluxo de calor é dado por:
dTdxg|x=L = 0
Portanto:
0 = -dotq0k (L - L^22L) + C1 Rightarrow 0 = -dotq0k (L - L2) + C1
Substituindo na expressão da primeira derivada:
0 = -dotq0k cdot L2 + C1 Rightarrow C1 = dotq0 L2k
Simplificando:

Passo 8

Agora, substituindo T(x) = -dotq0k (x^22 - x^36L) + dotq0 L2k x + T0 e T(x) = T0 + dotq0k ( L x2 - x^22 + x^36L^2 ) na expressão de T(x) = T0 + dotq0 L2k ( x - x^2L + x^33L^2 ) :
Podemos simplificar essa expressão:
Ou de forma equivalente:

Passo 9

Portanto, a expressão para a distribuição de temperatura T(x) = T0 + dotq0k cdot L2 [ x - x^2L + x^33L^2 ] em termos de , , , e é:

Resposta

A expressão para a distribuição de temperatura é:
T(x) = T0 + dotq0k cdot L2 [ x - x^2L + x^33L^2 ]

Exercícios relacionados