Uma chapa fina está sujeita a puma radiação de micro-ondas e tem um aquecimento volumétrico que varia de acordo com a equação:
A espessura da chapa , é de e a condutividade térmica do material da chapa é igual a . O contorno em está perfeitamente isolado, enquanto a superfície em está mantida a uma temperatura constante de 320 K .
a) Determine uma expressão para em termos de e .
b) Onde ocorrerá a temperatura máxima na chapa?
c) Qual é o valor de R Resp.: 500 K

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede e identificar o que vamos precisar para resolver. Temos uma chapa fina de espessura sujeita a radiação de micro-ondas, com um aquecimento volumétrico que varia conforme a equação:
onde . A condutividade térmica da chapa é . A superfície em está a uma temperatura constante de , e em está isolada. Vamos precisar aplicar a equação de condução de calor com geração interna para encontrar a distribuição de temperatura .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de condução de calor com geração interna em uma dimensão, que é dada por:
Onde:
  • é a segunda derivada da temperatura em relação a .
  • é a taxa de geração de calor por unidade de volume.
  • é a condutividade térmica do material.

Passo 3

Substituindo a expressão de na equação de condução de calor, temos:
Essa é a equação diferencial que precisamos resolver para encontrar .

Passo 4

Vamos integrar a equação diferencial uma vez para encontrar a primeira derivada de :
Integrando, obtemos:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, integramos novamente para encontrar a expressão para :
Onde é outra constante de integração.

Passo 6

Vamos aplicar as condições de contorno para determinar as constantes e .
Primeiro, em , a temperatura é :

Passo 7

Segundo, em , a chapa está isolada, ou seja, o fluxo de calor é zero. O fluxo de calor é dado por:
Portanto:
Substituindo na expressão da primeira derivada:
Simplificando:

Passo 8

Agora, substituindo e na expressão de :
Podemos simplificar essa expressão:
Ou de forma equivalente:

Passo 9

Portanto, a expressão para a distribuição de temperatura em termos de , , , e é:

Resposta

A expressão para a distribuição de temperatura é:

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a) Determine a temperatura na superfície externa do recipiente de aço inoxidável; Resp.:
b) Desenvolva expressão para em termos teóricos na massa de resíduo considerando que o recipiente cilíndrico está totalmente preenchido (não usar números - deixar indicado)
Resp:
c) Determine a temperatura no centro da massa do resíduo considerando que o cilindro está totalmente preenchido. Resp.:
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Resp.: