Uma chapa plana de metal está situada no plano x y de modo que a temperatura T (em graus Celsius) no ponto (x, y) é inversamente proporcional à distância ao ponto (0,0).
  1. Descreva as isotermas (curvas de temperatura constante) de T.
  2. Ache um ponto da chapa que tenha a mesma temperatura que o ponto (4, 3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me trouxe um exercício sobre temperatura em uma chapa de metal no plano xy. A primeira parte pede para descrever as isotermas, que são as curvas onde a temperatura é constante. A segunda parte quer que a gente encontre um ponto na chapa com a mesma temperatura de (4, 3). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre proporcionalidade inversa e geometria no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação dada: a temperatura T no ponto (x, y) é inversamente proporcional à distância desse ponto até a origem (0,0). Isso significa que podemos escrever:
onde k é uma constante de proporcionalidade e é a distância do ponto (x, y) até a origem, calculada usando o teorema de Pitágoras.

Passo 3

Agora, para descrever as isotermas, que são curvas onde T é constante, vamos chamar essa temperatura constante de . Então:
Podemos reorganizar essa equação para encontrar a relação entre x e y:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Isso representa a equação de um círculo com centro na origem e raio . Portanto, as isotermas são círculos concêntricos ao redor de (0,0).

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte do exercício: encontrar um ponto na chapa que tenha a mesma temperatura que o ponto (4, 3). Primeiro, vamos calcular a temperatura nesse ponto usando a fórmula que temos:
Queremos encontrar outro ponto (x, y) que resulte na mesma temperatura . Então:
Podemos simplificar cancelando o k:
Isso significa que qualquer ponto que esteja a uma distância de 5 unidades da origem terá a mesma temperatura que (4, 3).

Resposta

Um exemplo de ponto com a mesma temperatura de (4, 3) é (3, 4), pois a distância de (3, 4) até (0,0) também é 5 unidades.

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