Uma chapa plana de metal está situada no plano
de modo que a temperatura
(em graus Celsius) no ponto
é inversamente proporcional à distância ao ponto
.
- Descreva as isotermas (curvas de temperatura constante) de
.
- Ache um ponto da chapa que tenha a mesma temperatura que o ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me trouxe um exercício sobre temperatura em uma chapa de metal no plano
. A primeira parte pede para descrever as isotermas, que são as curvas onde a temperatura é constante. A segunda parte quer que a gente encontre um ponto na chapa com a mesma temperatura de
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre proporcionalidade inversa e geometria no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação dada: a temperatura
no ponto
é inversamente proporcional à distância desse ponto até a origem
. Isso significa que podemos escrever:
onde
é uma constante de proporcionalidade e
é a distância do ponto
até a origem, calculada usando o teorema de Pitágoras.
Passo 3
Agora, para descrever as isotermas, que são curvas onde
é constante, vamos chamar essa temperatura constante de
. Então:
Podemos reorganizar essa equação para encontrar a relação entre
e
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Isso representa a equação de um círculo com centro na origem e raio
. Portanto, as isotermas são círculos concêntricos ao redor de
.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte do exercício: encontrar um ponto na chapa que tenha a mesma temperatura que o ponto
. Primeiro, vamos calcular a temperatura nesse ponto usando a fórmula que temos:
Queremos encontrar outro ponto
que resulte na mesma temperatura
. Então:
Podemos simplificar cancelando o
:
Isso significa que qualquer ponto que esteja a uma distância de 5 unidades da origem terá a mesma temperatura que
.
Resposta
Um exemplo de ponto com a mesma temperatura de
é
, pois a distância de
até
também é 5 unidades.