Determine o limite lim (x, y) (0,0) 1-cos (x^2+y^2)(x^2+y^2)^2, se existir, ou mostre que esse limite não existe.

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício faz parte do estudo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites em várias direções e usar algumas propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Note que limr to 0 1 - cos(r^2)r^4 em coordenadas polares, onde é a distância do ponto até a origem. Portanto, podemos reescrever o limite em termos de :

Passo 3

Agora, precisamos lembrar da expansão em série de Taylor para a função cos(z) = 1 - z^22 + z^424 - dots em torno de cos(r^2) = 1 - r^42 + r^824 - dots :
Substituindo por , temos:

Passo 4

Subtraindo 1 - cos(r^2) = r^42 - r^824 + dots de 1:

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na fração original:
1 - cos(r^2)r^4 = r^42 - r^824 + dotsr^4 = r^42r^4 - r^824r^4 + dots = 12 - r^424 + dots

Passo 6

À medida que limr to 0 ( 12 - r^424 + dots ) = 12 , os termos com e superiores tendem a zero. Portanto, o limite simplifica-se para:

Resposta

O limite é .

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