Determine o limite
, se existir, ou mostre que esse limite não existe.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício faz parte do estudo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites em várias direções e usar algumas propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. Note que
em coordenadas polares, onde
é a distância do ponto
até a origem. Portanto, podemos reescrever o limite em termos de
:
Passo 3
Agora, precisamos lembrar da expansão em série de Taylor para a função
em torno de
:
Substituindo
por
, temos:
Passo 4
Subtraindo
de 1:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão na fração original:
Passo 6
À medida que
, os termos com
e superiores tendem a zero. Portanto, o limite simplifica-se para:
Resposta
O limite é
.