Encontre o comprimento de arco do gráfico de r(t).
r(t) = (4 + 3t) i + (2 - 2t) j + (5 + t) k ; 3 <= t <= 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o comprimento do arco do gráfico da função vetorial no intervalo de t de 3 a 4. A matéria envolvida aqui é o cálculo vetorial, especificamente o cálculo de comprimento de arco de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial, encontrar o módulo dessa derivada e então integrar esse módulo no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função vetorial r(t). A derivada de uma função vetorial é simplesmente a derivada de cada uma das suas componentes em relação a t.
Então,
Calculando cada derivada:

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos calcular o seu módulo, que representa a velocidade instantânea ao longo do tempo e é usado para encontrar o comprimento do arco.
O módulo de é dado por:

Passo 4

Com o módulo da derivada em mãos, podemos agora usar a fórmula do comprimento do arco para funções vetoriais, que é:
Substituindo os valores que temos:

Passo 5

Essa integral é bem tranquila de resolver, já que é uma constante. Então, a integral de uma constante c em relação a t de a a b é simplesmente .
Aplicando isso aqui:

Resposta

O comprimento do arco do gráfico de r(t) no intervalo de t de 3 a 4 é unidades.

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