Encontre o comprimento de arco do gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o comprimento do arco do gráfico da função vetorial
no intervalo de
de 3 a 4. A matéria envolvida aqui é o cálculo vetorial, especificamente o cálculo de comprimento de arco de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial, encontrar o módulo dessa derivada e então integrar esse módulo no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função vetorial
. A derivada de uma função vetorial é simplesmente a derivada de cada uma das suas componentes em relação a
.
Então,
Calculando cada derivada:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos calcular o seu módulo, que representa a velocidade instantânea ao longo do tempo e é usado para encontrar o comprimento do arco.
O módulo de
é dado por:
Passo 4
Com o módulo da derivada em mãos, podemos agora usar a fórmula do comprimento do arco para funções vetoriais, que é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Essa integral é bem tranquila de resolver, já que
é uma constante. Então, a integral de uma constante
em relação a
de
a
é simplesmente
.
Aplicando isso aqui:
Resposta
O comprimento do arco do gráfico de
no intervalo de
de 3 a 4 é
unidades.