• Um ciclista pedala por uma estrada sem vento com uma velocidade U=12 m / s. O produto de seu coeficiente de arrasto por sua área frontal é Cd. A=0,6 m 2. Em um dado momento, o vento (densidade do ar =1,2 kg / m 3 ) começa a soprar na direção contrária de seu deslocamento com velocidade W=7 m / s. Se o ciclista mantiver o mesmo gasto de potência de quando não havia vento, qual será sua nova velocidade? Despreze a resistência de rolamento.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. Temos um ciclista que está pedalando numa estrada sem vento a uma velocidade de . Sabemos que o produto do coeficiente de arrasto ( ) pela área frontal ( ) é . De repente, o vento começa a soprar na direção contrária com velocidade . A gente precisa descobrir qual será a nova velocidade do ciclista se ele mantiver a mesma potência que tinha antes do vento começar. Vamos precisar de conceitos sobre resistência do ar e potência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. Quando não tem vento, a resistência do ar que o ciclista enfrenta depende só da velocidade dele. A força de arrasto ( Fd = 12 rho Cd A U^2 ) pode ser calculada pela fórmula:
onde é a densidade do ar.

Passo 3

Quando começa a soprar vento contrário, a velocidade relativa do ar em relação ao ciclista muda. Agora, o vento está mexendo contra ele, então a velocidade relativa do ar é a soma da velocidade do ciclista com a do vento:
Vrel = V + W
onde é a nova velocidade do ciclista que queremos encontrar.

Passo 4

A potência que o ciclista gera para superar a resistência do ar é dada por:
P = Fd times Vrel
Como a potência permanece a mesma, podemos igualar a potência sem vento com a potência com vento:
12 rho Cd A U^2 times U = 12 rho Cd A (V + W)^2 times V

Passo 5

Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por U^3 = V (V + W)^2 :
12^3 = V (V + 7)^2
Agora, substituímos os valores que conhecemos:
1728 = V (V^2 + 14V + 49)

Passo 6

Expandindo a equação:
1728 = V^3 + 14V^2 + 49V
Leva tudo para um lado da equação para resolvermos:
V^3 + 14V^2 + 49V - 1728 = 0
Essa é uma equação cúbica que precisamos resolver para encontrar .

Passo 7

Resolver equações cúbicas pode ser complicado, mas podemos tentar valores razoáveis para 6^3 + 14 times 6^2 + 49 times 6 - 1728 = 216 + 504 + 294 - 1728 = -714 . Sabemos que a velocidade vai ser menor que 12 m/s por causa do vento. Testando 8^3 + 14 times 8^2 + 49 times 8 - 1728 = 512 + 896 + 392 - 1728 = 72 :
Ainda negativo, então precisamos de um valor maior. Tentando :
Agora estamos próximos! Podemos ajustar e encontrar que a velocidade está entre 7 e 8 m/s.

Resposta

A nova velocidade do ciclista, mantendo a mesma potência, é aproximadamente .

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