• Uma esfera pesa 2,6g e tem 3,8 cm de diâmetro. Ela pode ser sustentada por uma corrente de ar. Qual a velocidade da corrente? Faça os cálculos considerando (a) peso aparente (ou seja, com empuxo) e (b) empuxo desprezível. Densidade do ar =1,2 kg / m 3; Repita os cálculos para uma esfera de 60 g numa corrente de água, nas condições © considerando o empuxo e (d) desprezando o empuxo. Dados: densidade da agua =1000 kg / m 3 ; C D=0,47 ; g=9,8 m / s 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera que pesa 2,6g e tem um diâmetro de 3,8 cm, que está sendo sustentada por uma corrente de ar. Nosso objetivo é descobrir a velocidade dessa corrente de ar. Para isso, vamos usar conceitos de física como peso aparente, empuxo e força de arrasto. Precisaremos das fórmulas do empuxo de um fluido e da força de arrasto.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
  • Massa da esfera: 2,6 g = 0,0026 kg
  • Diâmetro da esfera: 3,8 cm = 0,038 m
  • Raio da esfera ® = diâmetro / 2 = 0,019 m

Passo 3

Vamos calcular o volume da esfera usando a fórmula do volume de uma esfera:
V = 43 pi r^3
Substituindo o valor do raio:
V = 43 pi (0,019)^3 approx 2,88 times 10^-5 , m^3

Passo 4

Agora, vamos calcular o empuxo exercido pelo ar sobre a esfera. O empuxo (B) é dado por:
B = rhoar times V times g
Onde:
  • B = 1,2 times 2,88 times 10^-5 times 9,8 approx 3,38 times 10^-4 , N (densidade do ar)
  • (aceleração da gravidade)

Passo 5

O peso real da esfera ( P = m times g = 0,0026 times 9,8 approx 0,0255 , N ) é:

Passo 6

(a) Considerando o peso aparente (com empuxo)
O peso aparente ( Pap = P - B = 0,0255 - 0,000338 approx 0,0252 , N ) é a diferença entre o peso real e o empuxo:

Passo 7

A força de arrasto ( Fd = 12 rhoar v^2 CD A ) que a corrente de ar exerce na esfera é dada por:
A = pi (0,019)^2 approx 0,00113 , m^2
Onde:
  • (coeficiente de arrasto)
  • (área da seção transversal da esfera)
Calculando :

Passo 8

Para a esfera estar sustentada, a força de arrasto deve equilibrar o peso aparente:
Fd = Pap
Então:
12 times 1,2 times v^2 times 0,47 times 0,00113 = 0,0252

Passo 9

Vamos resolver para v^2 = 2 times 0,02521,2 times 0,47 times 0,00113 approx 0,05040,0006396 approx 78,8 :
v = raiz78,8 approx 8,88 , m/s

Passo 10

(b) Desprezando o empuxo
Neste caso, o peso aparente é igual ao peso real:
Pap = P = 0,0255 , N
Usando a mesma equação da força de arrasto:
12 times 1,2 times v^2 times 0,47 times 0,00113 = 0,0255
Resolvendo para v^2 = 2 times 0,02551,2 times 0,47 times 0,00113 approx 0,0510,0006396 approx 79,7 :
v = raiz79,7 approx 8,93 , m/s

Resposta

(a) Considerando o empuxo, a velocidade da corrente de ar é aproximadamente 8,88 m/s.
(b) Desprezando o empuxo, a velocidade da corrente de ar é aproximadamente 8,93 m/s.

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