Um ciclo de Carnot é executado em um sistema fechado e utiliza
de ar como fluido de trabalho. A eficiência do ciclo é de
, e a temperatura mais baixa no ciclo é
. A pressão no início da expansão isentrópica é
, e no final da compressão isentrópica é de 1 Mpa. Calcule o trabalho líquido por ciclo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o ciclo de Carnot juntos! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um sistema fechado que usa ar como fluido de trabalho. Nos são dadas algumas informações:
- Massa do ar:
- Eficiência do ciclo:
ou - Temperatura mais baixa:
- Pressão inicial na expansão isentrópica:
- Pressão final na compressão isentrópica:
(ou )
Queremos calcular o trabalho líquido por ciclo.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de termodinâmica, especialmente sobre o ciclo de Carnot, eficiência térmica e como calcular o trabalho em ciclos termodinâmicos. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a eficiência de um ciclo de Carnot. A eficiência (
) de um ciclo de Carnot é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a temperatura mais baixa (em Kelvin) -
é a temperatura mais alta (em Kelvin)
Nós já sabemos que
e
. Vamos usar essa informação para encontrar
.
Passo 3
Vamos rearranjar a fórmula da eficiência para encontrar
:
Então, a temperatura mais alta no ciclo é
.
Passo 4
Agora que temos as temperaturas, precisamos calcular o trabalho líquido (
) realizado pelo ciclo de Carnot. A eficiência também pode ser expressa como:
Onde
é o calor absorvido na parte quente do ciclo. Podemos rearranjar para encontrar
:
Mas para encontrar
, precisamos primeiro encontrar
.
Passo 5
Para encontrar
, vamos lembrar que em um ciclo de Carnot, a relação entre os calores e as temperaturas é:
Sabemos que
, o que confirma nossa relação acima.
Mas, para seguir em frente, precisamos relacionar
com as propriedades do ar no sistema. Vamos usar a equação do trabalho em processos isentrópicos para um gás ideal.
Passo 6
Vamos considerar que o ar se comporta como um gás ideal. A equação de trabalho para processos isentrópicos (adiabáticos e reversíveis) é:
Onde:
-
é a pressão -
é o volume -
é a razão entre os calores específicos ( )
Para o ar,
. Porém, precisamos relacionar as pressões e volumes nos pontos de expansão e compressão.
Passo 7
Como estamos lidando com um ciclo de Carnot, temos duas adiabáticas (isentrópicas) e duas isotérmicas. Vamos focar no trabalho líquido, que é a diferença entre o trabalho da expansão e da compressão.
Usando a equação de trabalho para processos isentrópicos, podemos substituir:
Mas precisamos relacionar
e
. Para isso, vamos usar a relação dos processos isentrópicos:
Passo 8
Vamos resolver para
:
Substituindo os valores:
Então,
.
Passo 9
Agora, voltando à equação do trabalho líquido:
O sinal negativo indica que o trabalho líquido está sendo realizado pelo sistema.
Passo 10
Para encontrar
em termos de energia, precisamos relacionar
com a massa do ar e suas propriedades. Usando a equação dos gases ideais:
Onde:
-
é a constante dos gases para o ar, -
é a massa do ar, -
é a temperatura
Vamos calcular
na temperatura
:
Passo 11
Agora, substituindo
na equação do trabalho líquido:
O valor negativo indica que o trabalho está sendo realizado pelo sistema, ou seja, o ciclo de Carnot está gerando trabalho.
Resposta
O trabalho líquido por ciclo é aproximadamente
.
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(b) A eficiência térmica.
© A pressão média efetiva
(a) A pressão e temperatura ao final de cada processo no ciclo.
(b) A eficiência térmica.
© A pressão média efetiva