Um ciclo de Carnot é executado em um sistema fechado e utiliza 0,0025 kg de ar como fluido de trabalho. A eficiência do ciclo é de 60 %, e a temperatura mais baixa no ciclo é 300 K. A pressão no início da expansão isentrópica é 700 kPa, e no final da compressão isentrópica é de 1 Mpa. Calcule o trabalho líquido por ciclo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o ciclo de Carnot juntos! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um sistema fechado que usa ar como fluido de trabalho. Nos são dadas algumas informações:
  • Massa do ar: 0,0025 kg
  • Eficiência do ciclo: 60% ou 0,6
  • Temperatura mais baixa: 300 K
  • Pressão inicial na expansão isentrópica: 700 kPa
  • Pressão final na compressão isentrópica: 1 MPa (ou 1000 kPa)
Queremos calcular o trabalho líquido por ciclo.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de termodinâmica, especialmente sobre o ciclo de Carnot, eficiência térmica e como calcular o trabalho em ciclos termodinâmicos. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a eficiência de um ciclo de Carnot. A eficiência ( eta) de um ciclo de Carnot é dada pela fórmula:
eta = 1 - TLTH
Onde:
  • TL é a temperatura mais baixa (em Kelvin)
  • TH é a temperatura mais alta (em Kelvin)
Nós já sabemos que eta = 0,6 e TL = 300 K. Vamos usar essa informação para encontrar TH.

Passo 3

Vamos rearranjar a fórmula da eficiência para encontrar TH:
0,6 = 1 - 300TH
300TH = 1 - 0,6 = 0,4
TH = 3000,4 = 750 K
Então, a temperatura mais alta no ciclo é 750 K.

Passo 4

Agora que temos as temperaturas, precisamos calcular o trabalho líquido ( Wlíquidoí) realizado pelo ciclo de Carnot. A eficiência também pode ser expressa como:
eta = WlíquidoQH í
Onde QH é o calor absorvido na parte quente do ciclo. Podemos rearranjar para encontrar Wlíquidoí:
Wlíquido = eta cdot QH í
Mas para encontrar Wlíquidoí, precisamos primeiro encontrar QH.

Passo 5

Para encontrar QH, vamos lembrar que em um ciclo de Carnot, a relação entre os calores e as temperaturas é:
QHQL = THTL
Sabemos que eta = WlíquidoQH = 1 - QLQHí, o que confirma nossa relação acima.
Mas, para seguir em frente, precisamos relacionar QH com as propriedades do ar no sistema. Vamos usar a equação do trabalho em processos isentrópicos para um gás ideal.

Passo 6

Vamos considerar que o ar se comporta como um gás ideal. A equação de trabalho para processos isentrópicos (adiabáticos e reversíveis) é:
W = P1 V1 - P2 V2gamma - 1
Onde:
  • P é a pressão
  • V é o volume
  • gamma é a razão entre os calores específicos ( Cp/Cv)
Para o ar, gamma approx 1,4. Porém, precisamos relacionar as pressões e volumes nos pontos de expansão e compressão.

Passo 7

Como estamos lidando com um ciclo de Carnot, temos duas adiabáticas (isentrópicas) e duas isotérmicas. Vamos focar no trabalho líquido, que é a diferença entre o trabalho da expansão e da compressão.
Wlíquido = Wexpansão - Wcompressão íãã
Usando a equação de trabalho para processos isentrópicos, podemos substituir:
Wlíquido = P1 V1 - P2 V2gamma - 1 í
Mas precisamos relacionar V1 e V2. Para isso, vamos usar a relação dos processos isentrópicos:
P1 V1^gammaP2 V2^gamma = 1
P1P2 = ( V2V1 )^gamma

Passo 8

Vamos resolver para V2V1:
V2V1 = ( P1P2 )^1/gamma
Substituindo os valores:
V2V1 = ( 7001000 )^1/1,4 approx (0,7)^0,714 approx 0,795
Então, V2 approx 0,795 V1.

Passo 9

Agora, voltando à equação do trabalho líquido:
Wlíquido = P1 V1 - P2 V2gamma - 1 = 700 V1 - 1000 times 0,795 V11,4 - 1 í
Wlíquido = 700 V1 - 795 V10,4 = -95 V10,4 = -237,5 V1 í
O sinal negativo indica que o trabalho líquido está sendo realizado pelo sistema.

Passo 10

Para encontrar Wlíquidoí em termos de energia, precisamos relacionar V1 com a massa do ar e suas propriedades. Usando a equação dos gases ideais:
PV = mRT
Onde:
  • R é a constante dos gases para o ar, R approx 287 J/(kg·K)
  • m é a massa do ar, 0,0025 kg
  • T é a temperatura
Vamos calcular V1 na temperatura TH = 750 K:
V1 = mRTHP1 = 0,0025 times 287 times 750700 times 10^3 approx 5396,25700000 approx 0,00771 m^3

Passo 11

Agora, substituindo V1 na equação do trabalho líquido:
Wlíquido = -237,5 times 0,00771 approx -1,83 J í
O valor negativo indica que o trabalho está sendo realizado pelo sistema, ou seja, o ciclo de Carnot está gerando trabalho.

Resposta

O trabalho líquido por ciclo é aproximadamente -1,83 J.

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