Em uma cidade de 50 mil habitantes, uma empresa lançou uma marca nova de desodorante. Com o objetivo de divulgar a marca, a empresa fez propaganda através das redes sociais. No início apenas mil pessoas conheciam a marca (idealizadores, funcionários, etc). Uma semana depois, o número de pessoas que conheciam a marca chegou a 5 mil. Após 4 semanas o número de pessoas que conhece o produto será, aproximadamente,
Sugestão: trabalhe com a unidade em mil, isso facilitará a escrita!
A) 41 mil e 80 pessoas;
B) 43 mil e 730 pessoas;
C) 45 mil e 220 pessoas;
D) 47 mil e 360 pessoas;
E) 49 mil e 150 pessoas;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre crescimento populacional aplicado a pessoas que conhecem uma nova marca de desodorante. A gente precisa calcular quantas pessoas vão conhecer o produto após 4 semanas, sabendo que no começo eram 1 mil e depois de 1 semana já eram 5 mil. Vamos usar fórmulas de crescimento exponencial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula de crescimento exponencial, que é:
Onde:
  • é a população no tempo .
  • é a população inicial.
  • é a base dos logaritmos naturais (~2,718).
  • é a taxa de crescimento.
  • é o tempo.

Passo 3

Sabemos que inicialmente, mil pessoas. Depois de 1 semana ( ), mil pessoas. Vamos usar essas informações para encontrar a taxa .
Substituindo na fórmula:
Isso simplifica para:

Passo 4

Para encontrar , vamos usar o logaritmo natural dos dois lados:
Calculando:

Passo 5

Agora que temos , podemos calcular quantas pessoas conhecem a marca após 4 semanas ( ).
Usando a fórmula novamente:
Calculando o expoente:
Então:

Passo 6

Mas espera aí, a população total da cidade é de apenas 50 mil! Isso significa que não podemos ter mais pessoas conhecendo a marca do que a população total. Então, nosso modelo de crescimento exponencial não é adequado aqui porque ele prevê um crescimento ilimitado, o que não é realista nesse caso.

Passo 7

Vamos usar um modelo mais apropriado chamado Modelo Logístico, que considera a capacidade máxima da população. A fórmula é:
Onde:
  • é a capacidade de suporte, que aqui é 50 mil.
  • Os outros símbolos são como definidos antes.

Passo 8

Substituindo os valores que já temos:
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos calcular para :
Calculando :
Então:

Resposta

A opção que mais se aproxima é a C) 45 mil e 220 pessoas.

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