Em uma cidade de 50 mil habitantes, uma empresa lançou uma marca nova de desodorante. Com o objetivo de divulgar a marca, a empresa fez propaganda através das redes sociais. No início apenas mil pessoas conheciam a marca (idealizadores, funcionários, etc). Uma semana depois, o número de pessoas que conheciam a marca chegou a 5 mil. Após 4 semanas o número de pessoas que conhece o produto será, aproximadamente,
Sugestão: trabalhe com a unidade em mil, isso facilitará a escrita!
A) 41 mil e 80 pessoas;
B) 43 mil e 730 pessoas;
C) 45 mil e 220 pessoas;
D) 47 mil e 360 pessoas;
E) 49 mil e 150 pessoas;
Sugestão: trabalhe com a unidade em mil, isso facilitará a escrita!
A) 41 mil e 80 pessoas;
B) 43 mil e 730 pessoas;
C) 45 mil e 220 pessoas;
D) 47 mil e 360 pessoas;
E) 49 mil e 150 pessoas;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre crescimento populacional aplicado a pessoas que conhecem uma nova marca de desodorante. A gente precisa calcular quantas pessoas vão conhecer o produto após 4 semanas, sabendo que no começo eram 1 mil e depois de 1 semana já eram 5 mil. Vamos usar fórmulas de crescimento exponencial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula de crescimento exponencial, que é:
Onde:
-
é a população no tempo . -
é a população inicial. -
é a base dos logaritmos naturais (~2,718). -
é a taxa de crescimento. -
é o tempo.
Passo 3
Sabemos que inicialmente,
mil pessoas. Depois de 1 semana (
),
mil pessoas. Vamos usar essas informações para encontrar a taxa
.
Substituindo na fórmula:
Isso simplifica para:
Passo 4
Para encontrar
, vamos usar o logaritmo natural dos dois lados:
Calculando:
Passo 5
Agora que temos
, podemos calcular quantas pessoas conhecem a marca após 4 semanas (
).
Usando a fórmula novamente:
Calculando o expoente:
Então:
Passo 6
Mas espera aí, a população total da cidade é de apenas 50 mil! Isso significa que não podemos ter mais pessoas conhecendo a marca do que a população total. Então, nosso modelo de crescimento exponencial não é adequado aqui porque ele prevê um crescimento ilimitado, o que não é realista nesse caso.
Passo 7
Vamos usar um modelo mais apropriado chamado Modelo Logístico, que considera a capacidade máxima da população. A fórmula é:
Onde:
-
é a capacidade de suporte, que aqui é 50 mil. - Os outros símbolos são como definidos antes.
Passo 8
Substituindo os valores que já temos:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos calcular para
:
Calculando
:
Então:
Resposta
A opção que mais se aproxima é a C) 45 mil e 220 pessoas.
Exercícios relacionados
Mostre o Teorema do Valor Médio para Integrais, ou seja, mostre que se
for contínua em
, então existe um número
tal que
Determine a derivada direcional de
no ponto dado e a direção indicada pelo ângulo
.
Resolva o sistema de EDO
Ache a solução geral do sistema dado.