Mostre o Teorema do Valor Médio para Integrais, ou seja, mostre que se
for contínua em
, então existe um número
tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar o Teorema do Valor Médio para Integrais. Esse teorema faz parte do cálculo integral e envolve conceitos de continuidade e integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função contínua, o que significa calcular uma integral em um intervalo
e como encontrar um ponto
dentro desse intervalo que satisfaça a equação do teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função
é contínua no intervalo
se, para cada ponto
nesse intervalo, não há “quebras” ou “saltos” no gráfico da função. Isso é importante porque garante que a função se comporta “suavemente”, sem interrupções.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a integral definida
. Essa integral representa a área sob a curva da função
entre os limites
e
. Basicamente, ela calcula o “acúmulo” da função nesse intervalo.
Passo 4
O Teorema do Valor Médio para Integrais diz que, se
é contínua em
, então existe pelo menos um ponto
em
tal que:
Isso significa que o valor da função em
é igual à média dos valores da função no intervalo
.
Passo 5
Vamos começar a prova. Primeiro, definimos a média da função no intervalo
como:
Nosso objetivo é mostrar que existe um
tal que
.
Passo 6
Como
é contínua em
, pelo Teorema de Bolzano, que afirma que uma função contínua em um intervalo fechado assume todos os valores entre
e
, sabemos que
atinge todos os valores entre seu mínimo e máximo no intervalo.
Passo 7
Sabemos que existe um ponto onde
é igual a
, porque
está entre o valor mínimo e máximo de
no intervalo
. Portanto, esse ponto
é exatamente o que o teorema afirma que existe.
Resposta
Concluímos que, se
é contínua em
, então existe pelo menos um número
em
que satisfaz:
Isso confirma o Teorema do Valor Médio para Integrais.