Mostre o Teorema do Valor Médio para Integrais, ou seja, mostre que se f for contínua em [a, b], então existe um número c in[a, b] tal que
f(c)=1b-a integrala^b f(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar o Teorema do Valor Médio para Integrais. Esse teorema faz parte do cálculo integral e envolve conceitos de continuidade e integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função contínua, o que significa calcular uma integral em um intervalo e como encontrar um ponto dentro desse intervalo que satisfaça a equação do teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função é contínua no intervalo se, para cada ponto nesse intervalo, não há “quebras” ou “saltos” no gráfico da função. Isso é importante porque garante que a função se comporta “suavemente”, sem interrupções.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a integral definida . Essa integral representa a área sob a curva da função entre os limites e . Basicamente, ela calcula o “acúmulo” da função nesse intervalo.

Passo 4

O Teorema do Valor Médio para Integrais diz que, se f(c) = 1b - a integrala^b f(x) dx é contínua em , então existe pelo menos um ponto em tal que:
Isso significa que o valor da função em é igual à média dos valores da função no intervalo .

Passo 5

Vamos começar a prova. Primeiro, definimos a média da função no intervalo M = 1b - a integrala^b f(x) dx como:
Nosso objetivo é mostrar que existe um tal que .

Passo 6

Como é contínua em , pelo Teorema de Bolzano, que afirma que uma função contínua em um intervalo fechado assume todos os valores entre e , sabemos que atinge todos os valores entre seu mínimo e máximo no intervalo.

Passo 7

Sabemos que existe um ponto onde é igual a , porque está entre o valor mínimo e máximo de no intervalo . Portanto, esse ponto é exatamente o que o teorema afirma que existe.

Resposta

Concluímos que, se f(c) = 1b - a integrala^b f(x) dx é contínua em , então existe pelo menos um número em que satisfaz:
Isso confirma o Teorema do Valor Médio para Integrais.

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