Determine a derivada direcional de
no ponto dado e a direção indicada pelo ângulo
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinarmos a derivada direcional da função
no ponto
e na direção indicada pelo ângulo
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função
em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função no ponto e do vetor de direção.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Então, precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Portanto, o gradiente é:
Passo 5
Vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos do vetor de direção. O ângulo
indica a direção a partir do eixo
. Vamos encontrar as componentes desse vetor. Um vetor unitário na direção de
é dado por:
Passo 7
A derivada direcional
é o produto escalar do gradiente de
pelo vetor de direção
:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do ângulo
é
.