Determine a derivada direcional de no ponto dado e a direção indicada pelo ângulo .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinarmos a derivada direcional da função no ponto e na direção indicada pelo ângulo . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função no ponto e do vetor de direção.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Então, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :
Portanto, o gradiente é:

Passo 5

Vamos avaliar o gradiente no ponto :
Simplificando:

Passo 6

Agora, precisamos do vetor de direção. O ângulo indica a direção a partir do eixo . Vamos encontrar as componentes desse vetor. Um vetor unitário na direção de é dado por:

Passo 7

A derivada direcional é o produto escalar do gradiente de pelo vetor de direção :

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do ângulo é .

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