Em uma cidade há duas companhias de táxis: e . Sabe-se que dos táxis pertencem a companhia pertencem a companhia e todos circulam ao acaso pela cidade. Um táxi se envolve em um acidente noturno em um local pouco iluminado e uma testemunha presencia o acidente. A confiabilidade da testemunha é , isto é, a testemunha é capaz de identificar corretamente a companhia a qual pertence o táxi envolvido no acidente em dos casos.
(b) Dado que a testemunha afirma que o táxi envolvido no acidente pertence à companhia , determine a probabilidade de que ele realmente pertença à companhia .

Passo 1

Vamos resolver um problema de probabilidade envolvendo duas companhias de táxi, e . Sabemos que 85% dos táxis são da e 15% da . Além disso, uma testemunha com 80% de confiabilidade identificou que o táxi envolvido em um acidente pertence à . Queremos descobrir qual a probabilidade real de o táxi ser da dado esse testemunho. Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os eventos:
  • : O táxi é da companhia .
  • : A testemunha diz que o táxi é da companhia .
Sabemos que:
  • (probabilidade de o táxi ser da ).
  • (probabilidade de o táxi ser da ).
  • (probabilidade da testemunha dizer que é se realmente for ).
  • (probabilidade da testemunha dizer que é se for , já que a confiabilidade é de 80%).

Passo 3

Aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar , que é a probabilidade de o táxi ser da dado que a testemunha disse que é da :

Passo 4

Agora, precisamos calcular , que é a probabilidade da testemunha dizer que o táxi é da , independente de ser ou . Isso pode ser calculado usando a regra da probabilidade total:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora que temos , substituímos de volta na fórmula do Teorema de Bayes:

Resposta

A probabilidade de que o táxi realmente pertença à companhia , dado que a testemunha afirmou isso, é de aproximadamente .

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