Em uma cidade há duas companhias de táxis: C1 e C2. Sabe-se que 85 % dos táxis pertencem a companhia C1, 15 % pertencem a companhia C2 e todos circulam ao acaso pela cidade. Um táxi se envolve em um acidente noturno em um local pouco iluminado e uma testemunha presencia o acidente. A confiabilidade da testemunha é 80 %, isto é, a testemunha é capaz de identificar corretamente a companhia a qual pertence o táxi envolvido no acidente em 80 % dos casos.
(b) Dado que a testemunha afirma que o táxi envolvido no acidente pertence à companhia C1, determine a probabilidade de que ele realmente pertença à companhia C1.

Passo 1

Vamos resolver um problema de probabilidade envolvendo duas companhias de táxi, C1 e C2. Sabemos que 85% dos táxis são da C1 e 15% da C2. Além disso, uma testemunha com 80% de confiabilidade identificou que o táxi envolvido em um acidente pertence à C1. Queremos descobrir qual a probabilidade real de o táxi ser da C1 dado esse testemunho. Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os eventos:
  • A: O táxi é da companhia C1.
  • B: A testemunha diz que o táxi é da companhia C1.
Sabemos que:
  • P(A) = 0,85 (probabilidade de o táxi ser da C1).
  • P(A') = 0,15 (probabilidade de o táxi ser da C2).
  • P(B|A) = 0,80 (probabilidade da testemunha dizer que é C1 se realmente for C1).
  • P(B|A') = 0,20 (probabilidade da testemunha dizer que é C1 se for C2, já que a confiabilidade é de 80%).

Passo 3

Aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar P(A|B), que é a probabilidade de o táxi ser da C1 dado que a testemunha disse que é da C1:
P(A|B) = P(B|A) cdot P(A)P(B)

Passo 4

Agora, precisamos calcular P(B), que é a probabilidade da testemunha dizer que o táxi é da C1, independente de ser C1 ou C2. Isso pode ser calculado usando a regra da probabilidade total:
P(B) = P(B|A) cdot P(A) + P(B|A') cdot P(A')
Substituindo os valores:
P(B) = (0,80) cdot (0,85) + (0,20) cdot (0,15)
P(B) = 0,68 + 0,03 = 0,71

Passo 5

Agora que temos P(B), substituímos de volta na fórmula do Teorema de Bayes:
P(A|B) = 0,80 cdot 0,850,71
P(A|B) = 0,680,71 approx 0,9577

Resposta

A probabilidade de que o táxi realmente pertença à companhia C1, dado que a testemunha afirmou isso, é de aproximadamente 95,77%.

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