Em uma cidade há duas companhias de táxis:
e
. Sabe-se que
dos táxis pertencem a companhia
pertencem a companhia
e todos circulam ao acaso pela cidade. Um táxi se envolve em um acidente noturno em um local pouco iluminado e uma testemunha presencia o acidente. A confiabilidade da testemunha é
, isto é, a testemunha é capaz de identificar corretamente a companhia a qual pertence o táxi envolvido no acidente em
dos casos.
(b) Dado que a testemunha afirma que o táxi envolvido no acidente pertence à companhia
, determine a probabilidade de que ele realmente pertença à companhia
.
(b) Dado que a testemunha afirma que o táxi envolvido no acidente pertence à companhia
Passo 1
Vamos resolver um problema de probabilidade envolvendo duas companhias de táxi,
e
. Sabemos que 85% dos táxis são da
e 15% da
. Além disso, uma testemunha com 80% de confiabilidade identificou que o táxi envolvido em um acidente pertence à
. Queremos descobrir qual a probabilidade real de o táxi ser da
dado esse testemunho. Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes.
Passo 2
Primeiro, vamos definir os eventos:
-
: O táxi é da companhia . -
: A testemunha diz que o táxi é da companhia .
Sabemos que:
-
(probabilidade de o táxi ser da ). -
(probabilidade de o táxi ser da ). -
(probabilidade da testemunha dizer que é se realmente for ). -
(probabilidade da testemunha dizer que é se for , já que a confiabilidade é de 80%).
Passo 3
Aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar
, que é a probabilidade de o táxi ser da
dado que a testemunha disse que é da
:
Passo 4
Agora, precisamos calcular
, que é a probabilidade da testemunha dizer que o táxi é da
, independente de ser
ou
. Isso pode ser calculado usando a regra da probabilidade total:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora que temos
, substituímos de volta na fórmula do Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade de que o táxi realmente pertença à companhia
, dado que a testemunha afirmou isso, é de aproximadamente
.