- Numa cidade do interior de São Paulo, estima-se que cerca de 20% dos habitantes têm algum tipo de alergia. Sabe-se que 50% dos alérgicos praticam esporte, enquanto que essa porcentagem entre os não alérgicos é de
. Para um indivíduo escolhido aleatoriamente nessa cidade, obtenha a probabilidade de:
- Não praticar esporte;
- Ser alérgico dado que não pratica esportes.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma cidade onde 20% das pessoas têm alguma alergia. Entre os alérgicos, 50% praticam esportes, e entre os não alérgicos, 40% praticam esportes. Precisamos calcular:
- A probabilidade de uma pessoa não praticar esportes.
- A probabilidade de uma pessoa ser alérgica, sabendo que ela não pratica esportes.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade total e probabilidade condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de uma pessoa não praticar esportes. Para isso, usaremos a regra da probabilidade total:
Onde:
-
(probabilidade de ser alérgico) -
(probabilidade de não ser alérgico) -
-
Passo 3
Substituindo os valores na fórmula:
Portanto, a probabilidade de uma pessoa não praticar esportes é de 58%.
Passo 4
Agora, vamos calcular a probabilidade de uma pessoa ser alérgica sabendo que ela não pratica esportes, ou seja,
. Usaremos o Teorema de Bayes:
Já temos todos os valores:
Passo 5
Substituindo na fórmula de Bayes:
Convertendo para porcentagem, temos aproximadamente 17,24%.
Resposta
- A probabilidade de não praticar esportes é de 58%.
- A probabilidade de ser alérgico dado que não pratica esportes é de aproximadamente 17,24%.