Uma fábrica de automóveis verificou que, ao testar seus carros na pista de prova, há, em média, um estouro de pneu a em cada 300 km , e que o número de pneus estourados segue razoavelmente uma distribuição de Poisson. Qual a probabilidade de que:
um teste de 900 km haja no máximo um pneu estourado?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que, em média, um pneu estoura a cada 300 km de teste. Queremos descobrir a probabilidade de, em um teste de 900 km, ter no máximo um pneu estourado. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para contar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de espaço ou tempo, quando esses eventos são raros e independentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a taxa média de ocorrência (lambda, λ) para o nosso intervalo de 900 km. Sabemos que a média é de 1 pneu estourado a cada 300 km. Então, para 900 km, multiplicamos:
lambda = (1 estourado300 km) times 900 km = 3

Passo 3

Agora, queremos calcular a probabilidade de ter no máximo um pneu estourado, ou seja, P(X ≤ 1). Na Distribuição de Poisson, isso significa somar as probabilidades de ter 0 e 1 estourados:
P(X <= 1) = P(X = 0) + P(X = 1)

Passo 4

Vamos calcular cada termo usando a fórmula da Distribuição de Poisson:
P(X = k) = lambda^k e^-lambdak!
Para P(X = 0):
P(X = 0) = 3^0 e^-30! = 1 times e^-31 = e^-3 approx 0,0498
Para P(X = 1):
P(X = 1) = 3^1 e^-31! = 3 times e^-31 = 3e^-3 approx 0,1494

Passo 5

Agora, somamos as duas probabilidades para obter P(X ≤ 1):
P(X <= 1) = 0,0498 + 0,1494 = 0,1992

Resposta

A probabilidade de que, em um teste de 900 km, haja no máximo um pneu estourado é de aproximadamente 19,92%.

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