Um cientista resolve estimar a proporção de indivíduos com certa moléstia numa região. Ele deseja que a probabilidade de que a sua estimativa não se desvie do verdadeiro valor de p por mais que 0,02 seja de pelo menos
. Qual deve ser o tamanho da amostra para que essas condições sejam satisfeitas? Um outro cientista descobre que a doença em questão está relacionada com a concentração da substância A no sangue e que é considerado doente todo indivíduo para o qual a concentração A é menor que
. Sabe-se que a concentração da substância A no sangue tem distribuição normal com desvio padrão
e média maior que
. Você acha que essas novas informações podem ser utilizadas pelo primeiro cientista para diminuir o tamanho amostral? Em caso afirmativo, qual seria o novo tamanho amostral? (R:sim, 865)
Passo 1
Vamos analisar o enunciado do exercício. Temos um cientista que quer estimar a proporção de indivíduos com uma certa moléstia em uma região. Ele quer que a probabilidade de sua estimativa não se desviar do verdadeiro valor
por mais que 0,02 seja de pelo menos 95%. Precisamos descobrir qual o tamanho da amostra necessário para atender a esses requisitos. Além disso, outro cientista fornece informações adicionais sobre a relação entre a doença e a concentração da substância A no sangue, que pode nos ajudar a diminuir o tamanho da amostra. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística, especificamente de intervalos de confiança e tamanho de amostra para estimativas de proporção.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte inicial do problema: determinar o tamanho da amostra necessário para estimar a proporção
com uma margem de erro de 0,02 e um nível de confiança de 95%. A fórmula para o tamanho da amostra
em estimativas de proporção é:
Onde:
-
é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado. -
é a proporção estimada. -
é a margem de erro.
Passo 3
Para um nível de confiança de 95%, o valor crítico
é aproximadamente 1,96. A margem de erro
é 0,02. Porém, o valor de
não foi fornecido no enunciado. Geralmente, quando
não é conhecido, usamos
porque maximiza o valor de
, garantindo o maior tamanho de amostra necessário.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Portanto, o tamanho da amostra necessário inicialmente é de 2.401 indivíduos.
Passo 5
Agora, vamos considerar a segunda parte do problema. O segundo cientista descobriu que a doença está relacionada com a concentração da substância A no sangue, que segue uma distribuição normal com média maior que 2,0 mg/cm³ e desvio padrão de 0,4 mg/cm³. Além disso, considera-se doente todo indivíduo com concentração de A menor que 1,488 mg/cm³.
Isso significa que podemos determinar quais indivíduos são doentes com base na concentração de A, utilizando um teste estatístico. Isso pode aumentar a eficiência da nossa estimativa, permitindo um tamanho de amostra menor.
Passo 6
Para ajustar o tamanho da amostra usando a informação adicional, podemos calcular a probabilidade de um indivíduo ser doente com base na distribuição normal fornecida.
Primeiro, vamos padronizar o valor de 1,488 mg/cm³:
Onde
, mas para um cálculo conservador, vamos usar
:
Usando a tabela da distribuição normal, a probabilidade correspondente a
é aproximadamente 0,10. Isso significa que cerca de 10% da população é doente.
Passo 7
Agora que sabemos que a proporção
é aproximadamente 0,10, podemos recalcular o tamanho da amostra com essa nova informação:
Arredondando para cima, obtemos
.
Resposta
Sim, as novas informações permitem reduzir o tamanho da amostra para 865 indivíduos.