Para as funções a seguir, determine
para que
seja uma função densidade de probabilidade.
(a)
(b)
©
(d)
(R:(a)4 (b)
©
(d) 1
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o valor de
que faz com que a função
seja uma função densidade de probabilidade. Para isso, precisamos garantir duas coisas:
-
para todo . - A integral de
em todo o espaço é igual a 1.
No caso da letra (a), a função é definida como:
Vamos precisar calcular a integral de
de 0 a 1 e igualar a 1 para encontrar
.
Passo 2
Vamos calcular a integral de
de 0 a 1:
Para que a integral seja igual a 1:
Passo 3
Agora, vamos para a letra (b). Queremos encontrar
tal que:
Primeiro, garantimos que
. Como
no intervalo
, o negativo faz
não-negativa. Agora, calculamos a integral de
de -1 a 1 e igualamos a 1.
Passo 4
Calculando a integral:
Avaliamo:
Houve um erro aqui. Na verdade, a função está definida de 1 a 1, o que é apenas um ponto. Portanto, a integral é zero e a função não pode ser uma densidade de probabilidade nesse intervalo. Parece que há um erro no enunciado.
Passo 5
Como a integral não pode ser igual a 1 neste caso, o valor de
que satisfaz a condição é:
Passo 6
Para a letra ©, a função é:
Queremos encontrar
tal que a integral de
de
a
seja igual a 1.
Passo 7
Calculamos a integral:
Igualando a 1:
Passo 8
Finalmente, para a letra (d), a função é:
Queremos encontrar
tal que a integral de
de 0 a
seja igual a 1.
Passo 9
Calculamos a integral:
Para que a integral seja igual a 1:
Resposta
(a)
(b)
©
(d)
(b)
©
(d)