Para as funções a seguir, determine k pertence aos reais para que f_X seja uma função densidade de probabilidade.
(a)
fX(x) = { k * x^3, se 0 < x <= 1; 0, caso contrario }
(b)
fX(x) = { -k(x^2 - 1), se 1 <= x <= 1; 0, caso contrario }
©
fX(x) = { x^2, se -k < x <= k; 0, caso contrario }
(d)
f_X(x) = { k * e^(-x), se x > 0; 0, caso contrario }
(R:(a)4 (b) 3 / 4 © (3 / 2)^(1 / 3) (d) 1

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o valor de que faz com que a função seja uma função densidade de probabilidade. Para isso, precisamos garantir duas coisas:
  1. para todo .
  2. A integral de em todo o espaço é igual a 1.
No caso da letra (a), a função é definida como:
á
Vamos precisar calcular a integral de de 0 a 1 e igualar a 1 para encontrar .

Passo 2

Vamos calcular a integral de de 0 a 1:
Para que a integral seja igual a 1:

Passo 3

Agora, vamos para a letra (b). Queremos encontrar tal que:
á
Primeiro, garantimos que . Como no intervalo , o negativo faz não-negativa. Agora, calculamos a integral de de -1 a 1 e igualamos a 1.

Passo 4

Calculando a integral:
Avaliamo:
Houve um erro aqui. Na verdade, a função está definida de 1 a 1, o que é apenas um ponto. Portanto, a integral é zero e a função não pode ser uma densidade de probabilidade nesse intervalo. Parece que há um erro no enunciado.

Passo 5

Como a integral não pode ser igual a 1 neste caso, o valor de que satisfaz a condição é:

Passo 6

Para a letra ©, a função é:
á
Queremos encontrar tal que a integral de de a seja igual a 1.

Passo 7

Calculamos a integral:
Igualando a 1:

Passo 8

Finalmente, para a letra (d), a função é:
á
Queremos encontrar tal que a integral de de 0 a seja igual a 1.

Passo 9

Calculamos a integral:
Para que a integral seja igual a 1:

Resposta

(a)
(b)
©
(d)

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