Seja X a variável aleatória quantidade diária de arroz vendida num certo supermercado, em centenas de quilos ( x=1 indica 100kg), com função densidade de probabilidade
fX(x)=l 2 x3, se 0
(a) Construa o gráfico de fX e prove que é de fato uma f d p.
(b) Calcule a probabilidade de qu, em um dia escolhido ao acaso, se vender entre 0,5 e 2 centenas de kg ;
© Calcule a esperança e a variância da quantidade diária de arroz vendida, em centenas de kg e centenas de kg ao quadrado, respectivamente;
(d) Obtenha a função de distribuição acumulada e com base nela a mediana diária da quantidade de arroz vendida no supermercado.
(R:(b)3/4 © 4 / 3 ; 7 / 18 (d) 3-raiz3 approx 1,268 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Probabilidade e Estatística juntos! A gente tem uma variável aleatória que representa a quantidade diária de arroz vendida num supermercado, medida em centenas de quilos. A função densidade de probabilidade está dividida em três partes, dependendo do valor de . Para resolver as partes (a) a (d) desse exercício, vamos precisar entender alguns conceitos básicos como função densidade de probabilidade, gráficos de funções, cálculo de probabilidades, esperança, variância e função de distribuição acumulada. Bora lá!

Passo 2

Parte (a): Construir o gráfico de fX(x) = 2x3, & se 0 < x <= 1 -x3 + 1, & se 1 < x <= 3 0, & caso contrário e provar que é uma função densidade de probabilidade

Primeiro, vamos desenhar o gráfico da função densidade fX(x) = 2x3 . A função está definida por:
fX(x) = -x3 + 1 á
Vamos plotar cada parte:
  1. Para fX(x) = 0 :
    integral-infty^infty fX(x) , dx = integral0^1 2x3 , dx + integral1^3 (-x3 + 1) , dx
    É uma reta que começa em 0 (quando integral0^1 2x3 , dx = 23 [ x^22 ]0^1 = 23 times 12 = 13 ) e vai aumentando até integral1^3 (-x3 + 1) , dx = [ -x^26 + x ]1^3 = ( -96 + 3 ) - ( -16 + 1 ) = ( -1.5 + 3 ) - ( -0.1667 + 1 ) = 1.5 - 0.8333 = 0.6667 .
  2. Para 13 + 23 = 1 :
    É uma reta decrescente que começa em e vai até .
  3. Para outros valores de :
Agora, para provar que é realmente uma função densidade de probabilidade, precisamos verificar duas coisas:
  1. Não-negatividade: para todo . Isso está ok, já que as expressões dadas são não-negativas nos intervalos especificados.
  2. Integral total igual a 1:
    Calculando cada integral:
    • Primeira parte:
    • Segunda parte:
    Somando as duas partes:
    Então, a integral total é 1, confirmando que é uma função densidade de probabilidade.

Passo 3

Parte (b): Calcular a probabilidade de que, em um dia escolhido ao acaso, se venda entre 0,5 e 2 centenas de kg

Queremos encontrar P(0.5 <= X <= 2) = integral0.5^1 2x3 , dx + integral1^2 (-x3 + 1) , dx . Para isso, vamos integrar a função densidade de probabilidade integral0.5^1 2x3 , dx = 23 [ x^22 ]0.5^1 = 23 ( 12 - 0.252 ) = 23 times 0.375 = 0.25 nesse intervalo.
Primeiro, identificamos em quais intervalos a função está definida:
  • De 0,5 a 1: integral1^2 (-x3 + 1) , dx = [ -x^26 + x ]1^2 = ( -46 + 2 ) - ( -16 + 1 ) = ( -0.6667 + 2 ) - ( -0.1667 + 1 ) = 1.3333 - 0.8333 = 0.5
  • De 1 a 2: 0.25 + 0.5 = 0.75 = 34
Então, a probabilidade é:
Calculando cada integral:
  • Primeira parte:
  • Segunda parte:
Somando as duas partes:

Passo 4

Parte ©: Calcular a esperança e a variância da quantidade diária de arroz vendida

Esperança E[X] = integral-infty^infty x fX(x) , dx = integral0^1 x cdot 2x3 , dx + integral1^3 x (-x3 + 1) , dx :
A esperança é o valor médio esperado da variável aleatória. Ela é calculada por:
integral0^1 2x^23 , dx = 23 [ x^33 ]0^1 = 23 times 13 = 29
Calculando cada parte:
  • Primeira parte:
    integral1^3 x (-x3 + 1) , dx = integral1^3 (-x^23 + x) , dx = [ -x^39 + x^22 ]1^3
  • Segunda parte:
    ( -279 + 92 ) - ( -19 + 12 ) = ( -3 + 4.5 ) - ( -0.1111 + 0.5 ) = 1.5 - 0.3889 = 1.1111 = 109
    Calculando:
    29 + 109 = 129 = 43
Somando as duas partes:
E[X^2] = integral0^1 x^2 cdot 2x3 , dx + integral1^3 x^2 (-x3 + 1) , dx
Variância integral0^1 2x^33 , dx = 23 [ x^44 ]0^1 = 23 times 14 = 16 :
A variância é dada por integral1^3 x^2 (-x3 + 1) , dx = integral1^3 (-x^33 + x^2) , dx = [ -x^412 + x^33 ]1^3 . Primeiro, vamos encontrar ( -8112 + 273 ) - ( -112 + 13 ) = ( -6.75 + 9 ) - ( -0.0833 + 0.3333 ) = 2.25 - 0.25 = 2 :
16 + 2 = 136
Calculando cada parte:
  • Primeira parte:
    Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 136 - (43)^2 = 136 - 169 = 3918 - 3218 = 718
  • Segunda parte:
    Calculando:
Somando as duas partes:
Agora, calculando a variância:

Passo 5

Parte (d): Obter a função de distribuição acumulada e a mediana diária da quantidade de arroz vendida

Função de Distribuição Acumulada FX(x) = P(X <= x) = integral-infty^x fX(t) , dt :
A função de distribuição acumulada é dada por:
FX(x) = 0
Vamos construir FX(x) = integral0^x 2t3 , dt = 23 [ t^22 ]0^x = x^23 para diferentes intervalos de FX(x) = integral0^1 2t3 , dt + integral1^x (-t3 + 1) , dt = 13 + ( -x^26 + x - (-16 + 1) ) = 13 + ( -x^26 + x - 56 ) = -x^26 + x - 12 :
  1. Para FX(x) = 1 :
    -m^26 + m - 12 = 0.5
  2. Para -m^26 + m - 1 = 0 :
    -m^2 + 6m - 6 = 0
  3. Para m^2 - 6m + 6 = 0 :
    m = 6 pm raiz36 - 242 = 6 pm raiz122 = 3 pm raiz3
  4. Para m = 3 - raiz3 approx 1.268 :
Calculando a Mediana:
A mediana é o valor tal que .
Vamos resolver para onde :
Multiplicando tudo por 6 para simplificar:
Multiplicando por -1:
Resolvendo a equação quadrática:
Como está entre 1 e 3, escolhemos:

Resposta

(b) 34, (c) Esperança E[X] = 43; Variância Var(X) = 718, (d) Mediana approx 1,268 çâ

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