Um cilindro de 20 cm2 de seção reta
contém um gás ideal comprimido em seu interior porum pistão móvel, de massa desprezível e sem atrito. Opistão repousa a uma altura ho = 24 m. A base do cilindroestá em contato com um forno, de forma que atemperatura do gás permanece constante. Bolinhas dechumbo são lentamente depositadas sobre o pistão atéque o mesmo atinja a altura h = 80 cm. Determine amassa de chumbo, em kg, que foi depositado sobre opistão. Considere a pressão atmosférica igual a 1 atm

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um cilindro com uma área de seção reta de 20 cm² que contém um gás ideal. Esse gás está sendo comprimido por um pistão que pode se mover livremente, sem atrito e com massa desprezível. Inicialmente, o pistão está a uma altura de 24 metros. A base do cilindro está em contato com um forno, o que mantém a temperatura do gás constante durante todo o processo. Agora, bolinhas de chumbo são adicionadas lentamente sobre o pistão até que ele desça para uma altura de 80 centímetros. Nosso objetivo é descobrir qual foi a massa de chumbo adicionada, sabendo que a pressão atmosférica é de 1 atm.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de gases ideais e equilíbrio de pressões. Também vamos utilizar a Lei de Boyle, já que a temperatura permanece constante, indicando um processo isotérmico.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos. A área da seção reta do cilindro é de 20 cm², que em metros quadrados fica:
A = 20 , cm² = 20 times 10^-4 , m² = 2 times 10^-3 , m² ²²²

Passo 3

Agora, vamos entender como a pressão atua nesse sistema. Inicialmente, o pistão está a uma altura $ h_0 = 24 , m $. Depois da adição das bolinhas de chumbo, ele desce para uma altura $ h = 0,8 , m $. Essa mudança na altura está relacionada à variação na pressão exercida pelo gás.
Como a temperatura é constante, podemos aplicar a Lei de Boyle, que nos diz que:
h0 = 24 , m
Onde:
  • $ P_1 $ e $ P_2 $ são as pressões inicial e final.
  • $ V_1 $ e $ V_2 $ são os volumes inicial e final.

Passo 4

Sabemos que o volume de um cilindro é dado por:
V = A times h
Portanto, podemos expressar os volumes inicial e final como:
V1 = A times h0
V2 = A times h
Substituindo na Lei de Boyle:
P1 A h0 = P2 A h
Observamos que a área $ A $ se cancela:
A

Passo 5

A pressão $ P_2 $ após a adição do chumbo é a pressão atmosférica mais a pressão exercida pelas bolinhas de chumbo. Podemos expressar isso como:
P2
Onde:
  • $ m $ é a massa de chumbo que queremos encontrar.
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,81 , m/s² $).

Passo 6

Agora, substituímos $ P_2 $ na equação anterior:
P2
Mas inicialmente, a pressão $ P_1 $ era apenas a pressão atmosférica, então:
P1 h0 = (Patm + m gA) h

Passo 7

Vamos isolar $ m $ na equação:
m
Patm h0 = Patm h + m g hA
Patm (h0 - h) = m g hA

Passo 8

Agora, precisamos inserir os valores. Primeiro, convertemos a pressão atmosférica de atm para Pascals (pois o SI usa Pascal):
1 , atm = 101325 , Pa
Sabendo que:
  • $ P_{atm} = 101325 , Pa $
  • $ h_0 = 24 , m $
  • $ h = 0,8 , m $
  • $ A = 2 \times 10^{-3} , m² $
  • $ g = 9,81 , m/s² $
Substituindo na fórmula:
Patm = 101325 , Pa

Passo 9

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calculando $ h_0 - h $:
h0 - h
  1. Multiplicando as partes superiores:
24 - 0,8 = 23,2 , m
  1. Calculando o denominador:
101325 times 23,2 times 2 times 10^-3 = 101325 times 23,2 times 0,002 = 101325 times 0,0464 approx 4700 , N
  1. Finalmente, dividindo os resultados:
9,81 times 0,8 = 7,848

Resposta

A massa de chumbo depositada sobre o pistão é de aproximadamente 599 kg.

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