Um cilindro de 20 cm2 de seção reta
contém um gás ideal comprimido em seu interior porum pistão móvel, de massa desprezível e sem atrito. Opistão repousa a uma altura ho = 24 m. A base do cilindroestá em contato com um forno, de forma que atemperatura do gás permanece constante. Bolinhas dechumbo são lentamente depositadas sobre o pistão atéque o mesmo atinja a altura h = 80 cm. Determine amassa de chumbo, em kg, que foi depositado sobre opistão. Considere a pressão atmosférica igual a 1 atm
contém um gás ideal comprimido em seu interior porum pistão móvel, de massa desprezível e sem atrito. Opistão repousa a uma altura ho = 24 m. A base do cilindroestá em contato com um forno, de forma que atemperatura do gás permanece constante. Bolinhas dechumbo são lentamente depositadas sobre o pistão atéque o mesmo atinja a altura h = 80 cm. Determine amassa de chumbo, em kg, que foi depositado sobre opistão. Considere a pressão atmosférica igual a 1 atm
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um cilindro com uma área de seção reta de 20 cm² que contém um gás ideal. Esse gás está sendo comprimido por um pistão que pode se mover livremente, sem atrito e com massa desprezível. Inicialmente, o pistão está a uma altura de 24 metros. A base do cilindro está em contato com um forno, o que mantém a temperatura do gás constante durante todo o processo. Agora, bolinhas de chumbo são adicionadas lentamente sobre o pistão até que ele desça para uma altura de 80 centímetros. Nosso objetivo é descobrir qual foi a massa de chumbo adicionada, sabendo que a pressão atmosférica é de 1 atm.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de gases ideais e equilíbrio de pressões. Também vamos utilizar a Lei de Boyle, já que a temperatura permanece constante, indicando um processo isotérmico.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos. A área da seção reta do cilindro é de 20 cm², que em metros quadrados fica:
Passo 3
Agora, vamos entender como a pressão atua nesse sistema. Inicialmente, o pistão está a uma altura $ h_0 = 24 , m $. Depois da adição das bolinhas de chumbo, ele desce para uma altura $ h = 0,8 , m $. Essa mudança na altura está relacionada à variação na pressão exercida pelo gás.
Como a temperatura é constante, podemos aplicar a Lei de Boyle, que nos diz que:
Onde:
- $ P_1 $ e $ P_2 $ são as pressões inicial e final.
- $ V_1 $ e $ V_2 $ são os volumes inicial e final.
Passo 4
Sabemos que o volume de um cilindro é dado por:
Portanto, podemos expressar os volumes inicial e final como:
Substituindo na Lei de Boyle:
Observamos que a área $ A $ se cancela:
Passo 5
A pressão $ P_2 $ após a adição do chumbo é a pressão atmosférica mais a pressão exercida pelas bolinhas de chumbo. Podemos expressar isso como:
Onde:
- $ m $ é a massa de chumbo que queremos encontrar.
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,81 , m/s² $).
Passo 6
Agora, substituímos $ P_2 $ na equação anterior:
Mas inicialmente, a pressão $ P_1 $ era apenas a pressão atmosférica, então:
Passo 7
Vamos isolar $ m $ na equação:
Passo 8
Agora, precisamos inserir os valores. Primeiro, convertemos a pressão atmosférica de atm para Pascals (pois o SI usa Pascal):
Sabendo que:
- $ P_{atm} = 101325 , Pa $
- $ h_0 = 24 , m $
- $ h = 0,8 , m $
- $ A = 2 \times 10^{-3} , m² $
- $ g = 9,81 , m/s² $
Substituindo na fórmula:
Passo 9
Vamos calcular passo a passo:
- Calculando $ h_0 - h $:
- Multiplicando as partes superiores:
- Calculando o denominador:
- Finalmente, dividindo os resultados:
Resposta
A massa de chumbo depositada sobre o pistão é de aproximadamente 599 kg.