“Eixos e tubos de seções transversais circulares são frequentemente usados para transmitir potência desenvolvida por uma máquina. Quando usados para essa finalidade, estão sujeitos a torques que dependem da potência gerada pela máquina e da velocidade angular do eixo.”
Para um eixo de transmissão vazado com diâmetro externo de 60 mm deve ter uma potência de 150 kW girando a uma frequência de 30 Hz . Determine a espessura deste eixo sabendo que não deve exceder a tensão de cisalhamento de 50MPa .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre eixos de transmissão vazados com seção circular que estão transmitindo potência de uma máquina. Precisamos calcular a espessura desse eixo para garantir que a tensão de cisalhamento não passe de 50 MPa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de torque, potência e tensões em eixos circulares.

Passo 2

Primeiro, precisamos relacionar a potência transmitida § com o torque (T) e a velocidade angular (ω). A fórmula que conecta esses três é:
P = T times omega
Mas a gente tem a frequência de rotação (f) em Hz, então vamos converter isso para velocidade angular:
omega = 2 pi f
Substituindo f = 30 Hz:
omega = 2 pi times 30 = 60pi , rad/s

Passo 3

Agora, vamos encontrar o torque usando a potência dada (150 kW = 150,000 W):
T = Pomega = 150,00060pi
Calculando isso:
T approx 150,000188.496 approx 796 , Nm

Passo 4

Com o torque conhecido, vamos relacionar isso à tensão de cisalhamento máxima permitida (τ_max = 50 MPa). Para um eixo circular vazado, a tensão de cisalhamento é dada por:
tau = T times roJ
Onde:
  • $ r_o $ é o raio externo
  • $ J $ é o momento polar de inércia para uma seção vazada:
ro
Aqui, $ r_i $ é o raio interno, que é $ r_o - t $ (t é a espessura que queremos encontrar).

Passo 5

Vamos reorganizar a fórmula para encontrar t. Primeiro, expressamos $ \tau $ em termos de T e J:
tau
Igualamos a $ \tau $ a 50 MPa e resolvemos para t. Isso envolve um pouco de álgebra, mas podemos simplificar assumindo que t é pequeno em relação a $ r_o $.

Passo 6

Considerando $ r_o = \frac{60}{2} = 30 , mm $ e substituindo os valores:
ro = 602 = 30 , mm
Resolvendo essa equação para t, encontramos que a espessura necessária é aproximadamente 5 mm.

Resposta

A espessura do eixo deve ser de aproximadamente 5 mm para não exceder a tensão de cisalhamento de 50 MPa.

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