“Eixos e tubos de seções transversais circulares são frequentemente usados para transmitir potência desenvolvida por uma máquina. Quando usados para essa finalidade, estão sujeitos a torques que dependem da potência gerada pela máquina e da velocidade angular do eixo.”
Para um eixo de transmissão vazado com diâmetro externo de 60 mm deve ter uma potência de 150 kW girando a uma frequência de 30 Hz . Determine a espessura deste eixo sabendo que não deve exceder a tensão de cisalhamento de 50MPa .
Para um eixo de transmissão vazado com diâmetro externo de 60 mm deve ter uma potência de 150 kW girando a uma frequência de 30 Hz . Determine a espessura deste eixo sabendo que não deve exceder a tensão de cisalhamento de 50MPa .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre eixos de transmissão vazados com seção circular que estão transmitindo potência de uma máquina. Precisamos calcular a espessura desse eixo para garantir que a tensão de cisalhamento não passe de 50 MPa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de torque, potência e tensões em eixos circulares.
Passo 2
Primeiro, precisamos relacionar a potência transmitida § com o torque (T) e a velocidade angular (ω). A fórmula que conecta esses três é:
Mas a gente tem a frequência de rotação (f) em Hz, então vamos converter isso para velocidade angular:
Substituindo f = 30 Hz:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o torque usando a potência dada (150 kW = 150,000 W):
Calculando isso:
Passo 4
Com o torque conhecido, vamos relacionar isso à tensão de cisalhamento máxima permitida (τ_max = 50 MPa). Para um eixo circular vazado, a tensão de cisalhamento é dada por:
Onde:
- $ r_o $ é o raio externo
- $ J $ é o momento polar de inércia para uma seção vazada:
Aqui, $ r_i $ é o raio interno, que é $ r_o - t $ (t é a espessura que queremos encontrar).
Passo 5
Vamos reorganizar a fórmula para encontrar t. Primeiro, expressamos $ \tau $ em termos de T e J:
Igualamos a $ \tau $ a 50 MPa e resolvemos para t. Isso envolve um pouco de álgebra, mas podemos simplificar assumindo que t é pequeno em relação a $ r_o $.
Passo 6
Considerando $ r_o = \frac{60}{2} = 30 , mm $ e substituindo os valores:
Resolvendo essa equação para t, encontramos que a espessura necessária é aproximadamente 5 mm.
Resposta
A espessura do eixo deve ser de aproximadamente 5 mm para não exceder a tensão de cisalhamento de 50 MPa.