Partindo do repouso, e utilizando sua potência máxima, uma locomotiva sai de uma estação puxando um trem de 580 toneladas. Somente após 5 minutos, o trem atinge sua velocidade máxima, 50 km/h. Na estação seguinte, mais vagões são agregados e, desta vez, o trem leva 8 minutos para atingir a mesma velocidade limite. Considerando que, em ambos os casos, o trem percorre trajetórias aproximadamente planas e que as forças de atrito são as mesmas nos dois casos, é correto afirmar que a massa total dos novos vagões é?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma locomotiva que começa do zero, usando toda a sua potência, e puxa um trem que inicialmente pesa 580 toneladas. Ela leva 5 minutos para atingir a velocidade máxima de 50 km/h. Na próxima estação, adicionam mais vagões, e agora leva 8 minutos para chegar na mesma velocidade. Sabendo que as forças de atrito são as mesmas nas duas situações e que o terreno é plano, queremos descobrir qual é a massa total dos novos vagões adicionados.
Vamos precisar usar conceitos de potência, força, e aceleração para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que potência ($ P $) é a taxa de realização de trabalho, e pode ser expressa pela fórmula:
Onde:
- $ F $ é a força aplicada
- $ v $ é a velocidade
Como a locomotiva está usando sua potência máxima para acelerar o trem até a velocidade $ v
m
a $) usando a segunda lei de Newton:
E a aceleração ($ a
t $):
Passo 3
Substituindo a aceleração na equação da força, temos:
Agora, substituímos essa força na fórmula da potência:
Então, a potência é proporcional à massa do trem multiplicada pelo quadrado da velocidade dividido pelo tempo que leva para atingir essa velocidade.
Passo 4
Vamos analisar as duas situações:
-
Primeira situação:
- Massa inicial ($ m_1 $): 580 toneladas
- Tempo para atingir 50 km/h ($ t_1 $): 5 minutos = 300 segundos
-
Segunda situação:
- Massa total ($ m_2 $): $ 580 + \Delta m $ toneladas (onde $ \Delta m $ é a massa dos novos vagões)
- Tempo para atingir 50 km/h ($ t_2 $): 8 minutos = 480 segundos
Como a potência da locomotiva é a mesma nas duas situações e a velocidade máxima também é a mesma, podemos igualar as expressões de potência para as duas situações:
Passo 5
Simplificando a equação acima, já que $ v $ e $ P $ são constantes e iguais em ambos os casos:
Isolando $ m_2 $:
Sabemos que $ m_2 = 580 + \Delta m $, então:
Passo 6
Calculando a fração:
Então:
Agora, isolamos $ \Delta m $:
Resposta
A massa total dos novos vagões adicionados é de 348 toneladas.