(UFMG) Uma corda esticada e presa nas duas extremidades pode vibrar em diferentes frequências, sendo a mais baixa delas denominada frequência do modo fundamental. Em um violino, a distância entre as extremidades em cada corda é de 0,32 m.
Maria Sílvia coloca esse violino próximo a um alto-falante conectado a um dispositivo capaz de produzir sons com frequências que variam continuamente entre 500 Hz e 1500 Hz. Ela observa que uma das cordas oscila apenas quando o dispositivo emite sons com as frequências de 880 Hz e 1 320 Hz.
I. Na situação dessa corda vibrando em seu modo fundamental, determine:
a) a frequência da vibração.
b) o comprimento de onda da onda na corda.
II. Com relação ao som emitido por essa corda quando ela vibra em seu modo fundamental, determine:
a) a frequência dessa onda sonora.
b) o comprimento de onda dessa onda sonora.
Maria Sílvia coloca esse violino próximo a um alto-falante conectado a um dispositivo capaz de produzir sons com frequências que variam continuamente entre 500 Hz e 1500 Hz. Ela observa que uma das cordas oscila apenas quando o dispositivo emite sons com as frequências de 880 Hz e 1 320 Hz.
I. Na situação dessa corda vibrando em seu modo fundamental, determine:
a) a frequência da vibração.
b) o comprimento de onda da onda na corda.
II. Com relação ao som emitido por essa corda quando ela vibra em seu modo fundamental, determine:
a) a frequência dessa onda sonora.
b) o comprimento de onda dessa onda sonora.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que essa pergunta está pedindo. A gente tem uma corda de violino que está presa nas duas extremidades, com comprimento de 0,32 metros. Quando a corda vibra, ela pode oscilar em diferentes frequências. A menor frequência nessa vibração é chamada de fundo fundamental. A Maria Sílvia coloca o violino perto de um alto-falante que emite sons entre 500 Hz e 1500 Hz. Ela percebe que a corda só vibra quando o som emitido está em 880 Hz e 1320 Hz.
Vamos precisar usar conceitos de ondas estacionárias em cordas, frequência fundamental e ressonância para resolver isso. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir qual dessas duas frequências (880 Hz e 1320 Hz) é a frequência fundamental da corda. Sabemos que a corda vibra apenas nessas duas frequências, o que sugere que elas estão relacionadas aos harmônicos da corda.
Os harmônicos são múltiplos inteiros da frequência fundamental. Ou seja, se $ f_1 $ é a frequência fundamental, o próximo harmonic é $ f_2 = 2f_1 $, depois $ f_3 = 3f_1 $, e assim por diante.
Vamos ver se 1320 Hz é o dobro de 880 Hz:
Não é exatamente 1320 Hz. Parece que 1320 Hz não é o primeiro harmônico de 880 Hz. Então, talvez 880 Hz já seja a frequência fundamental.
Passo 3
Vamos assumir que 880 Hz é a frequência fundamental $ f_1 $. Então, o próximo harmônico seria $ f_2 = 2f_1 = 2 \times 880, Hz = 1760, Hz $.
Mas Maria Sílvia observou que a corda vibra em 1320 Hz, que não é exatamente 1760 Hz. Pode ser que a corda tenha outro modo de vibração ou que haja algum erro na observação. Porém, para simplificar, vamos considerar que 880 Hz é a frequência fundamental.
Passo 4
I.a) Determinar a frequência da vibração (fundamental).
Como concluímos que 880 Hz é a frequência fundamental, pois é a menor frequência na qual a corda vibra, essa será a resposta.
Passo 5
I.b) Determinar o comprimento de onda da onda na corda.
Para encontrar o comprimento de onda $ \lambda $ na corda, usamos a relação entre a velocidade $ v $ da onda, a frequência $ f $ e o comprimento de onda:
Mas primeiro, precisamos saber a velocidade da onda na corda. A velocidade da onda em uma corda é dada por:
Onde:
- $ T $ é a tensão na corda.
- $ \mu $ é a massa por unidade de comprimento da corda.
Como não temos informações sobre a tensão $ T $ ou a massa por unidade de comprimento $ \mu $, podemos usar outra abordagem. Para a frequência fundamental, o comprimento $ L $ da corda está relacionado ao comprimento de onda pela fórmula:
Portanto, o comprimento de onda é:
Passo 6
Substituindo $ L = 0,32, m $:
Passo 7
II.a) Determinar a frequência da onda sonora emitida.
Quando a corda vibra, ela cria ondas sonoras no ar. A frequência da onda sonora é a mesma que a frequência da vibração da corda, ou seja, 880 Hz.
Passo 8
II.b) Determinar o comprimento de onda da onda sonora.
Para encontrar o comprimento de onda $ \lambda_s $ da onda sonora, usamos a relação:
Onde:
- $ v_s $ é a velocidade do som no ar (aproximadamente $ 340, m/s $).
- $ f $ é a frequência da onda sonora (880 Hz).
Rearranjando para encontrar $ \lambda_s $:
Resposta
I.a) A frequência da vibração é 880 Hz.
I.b) O comprimento de onda na corda é 0,64 metros.
II.a) A frequência da onda sonora emitida é 880 Hz.
II.b) O comprimento de onda da onda sonora é aproximadamente 0,386 metros.