Um cilindro circular reto de altura igual ao diâmetro da base está inscrito em um cone circular reto. O cone tem diâmetro 10, altura 12 e seu eixo de revolução coincide com o do cilindro.
O diâmetro da base do cilindro é igual a
a) 16/3
b) 60/11
c) 6.
d) 25/4.
e) 7.
O diâmetro da base do cilindro é igual a
a) 16/3
b) 60/11
c) 6.
d) 25/4.
e) 7.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que está acontecendo aqui! Temos um cilindro de altura igual ao diâmetro da sua base, todo inserido dentro de um cone. O cone tem um diâmetro de 10 unidades e uma altura de 12 unidades. Nosso objetivo é descobrir qual é o diâmetro da base desse cilindro. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria espacial, principalmente relacionando as proporções entre o cone e o cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as dimensões do cone. Sabemos que o diâmetro do cone é 10, então o raio $ R $ do cone é metade disso:
A altura do cone é 12 unidades.
Passo 3
Agora, vamos analisar o cilindro. A altura do cilindro é igual ao diâmetro da sua base. Vamos chamar o diâmetro do cilindro de $ d $. Então, a altura do cilindro também é $ d $.
Passo 4
Como o cilindro está inscrito no cone, ele toca as laterais do cone. Podemos usar semelhança de triângulos para relacionar as dimensões do cone e do cilindro.
No cone, temos um triângulo maior com altura 12 e base 10 (diâmetro). No ponto onde o cilindro está, temos um triângulo menor com altura $ 12 - d $ (porque a altura do cilindro é $ d $) e base $ d $ (o diâmetro do cilindro).
Passo 5
Usando a semelhança de triângulos, estabelecemos a proporção:
Isso significa que as proporções das bases e das alturas dos dois triângulos são iguais.
Passo 6
Vamos resolver a proporção:
Resposta
O diâmetro da base do cilindro é igual a $ \frac{60}{11} $.