Suponha que a população de uma colônia de 800 bactérias do tipo A que se triplica a cada 3 horas e uma segunda colônia de 2700 bactérias do tipo B que se duplica a cada 3 horas. Quanto tempo levará para que o número de bactérias dessas duas colônias seja o mesmo?
A) 6 horas
B) 4 horas
C) 9 horas
D) 8 horas
E) 3 horas
A) 6 horas
B) 4 horas
C) 9 horas
D) 8 horas
E) 3 horas
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas colônias de bactérias:
- Tipo A: Começa com 800 bactérias e triplica a cada 3 horas.
- Tipo B: Começa com 2700 bactérias e duplica a cada 3 horas.
A pergunta é: Quanto tempo vai levar para que o número de bactérias dessas duas colônias seja o mesmo?
Vamos usar a matemática do crescimento exponencial para resolver isso!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o crescimento exponencial. Se uma população cresce multiplicando por um certo número a cada período de tempo, a quantidade de bactérias pode ser representada por uma fórmula.
Para a colônia A que triplica a cada 3 horas:
Aqui, $ t $ é o tempo em horas.
Para a colônia B que duplica a cada 3 horas:
Passo 3
Queremos encontrar o tempo $ t $ em que as duas colônias terão o mesmo número de bactérias. Então, igualamos as duas equações:
Passo 4
Vamos simplificar a equação. Primeiro, dividimos ambos os lados por 100 para facilitar:
Sabemos que $ 8 = 2^3 $ e $ 27 = 3^3 $, então podemos reescrever:
Passo 5
Agora, vamos dividir ambos os lados por $ 2^3 $:
Simplificando:
Passo 6
Para resolver essa equação, podemos igualar os expoentes de 2 e 3. Observando, percebemos que quando $ \frac{t}{3} = 3 $:
Resposta
A resposta correta é C) 9 horas.