Suponha que a população de uma colônia de 800 bactérias do tipo A que se triplica a cada 3 horas e uma segunda colônia de 2700 bactérias do tipo B que se duplica a cada 3 horas. Quanto tempo levará para que o número de bactérias dessas duas colônias seja o mesmo?
A) 6 horas
B) 4 horas
C) 9 horas
D) 8 horas
E) 3 horas

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas colônias de bactérias:
  • Tipo A: Começa com 800 bactérias e triplica a cada 3 horas.
  • Tipo B: Começa com 2700 bactérias e duplica a cada 3 horas.
A pergunta é: Quanto tempo vai levar para que o número de bactérias dessas duas colônias seja o mesmo?
Vamos usar a matemática do crescimento exponencial para resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o crescimento exponencial. Se uma população cresce multiplicando por um certo número a cada período de tempo, a quantidade de bactérias pode ser representada por uma fórmula.
Para a colônia A que triplica a cada 3 horas:
A(t) = 800 times 3^t3
Aqui, $ t $ é o tempo em horas.
Para a colônia B que duplica a cada 3 horas:
t

Passo 3

Queremos encontrar o tempo $ t $ em que as duas colônias terão o mesmo número de bactérias. Então, igualamos as duas equações:
t

Passo 4

Vamos simplificar a equação. Primeiro, dividimos ambos os lados por 100 para facilitar:
8 times 3^t3 = 27 times 2^t3
Sabemos que $ 8 = 2^3 $ e $ 27 = 3^3 $, então podemos reescrever:
8 = 2^3

Passo 5

Agora, vamos dividir ambos os lados por $ 2^3 $:
2^3
Simplificando:
3^t3 = 3^32^3 times 2^t3

Passo 6

Para resolver essa equação, podemos igualar os expoentes de 2 e 3. Observando, percebemos que quando $ \frac{t}{3} = 3 $:
t3 = 3

Resposta

A resposta correta é C) 9 horas.

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