Um cilindro circular reto, de raio R e altura L, está orientado ao longo do eixo z. Possui uma densidade volumétrica não uniforme de carga dada por rho(z)=rhoo+beta z em relação a uma origem no centro do cilindro. Determine o campo elétrico dentro do cilindro.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos apresenta um cilindro circular reto, com raio e altura , orientado ao longo do eixo . A densidade volumétrica de carga não é constante; ela varia ao longo do eixo conforme a fórmula . Nosso objetivo aqui é determinar o campo elétrico dentro desse cilindro. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de eletrostática, mais especificamente a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga envolvida.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a distribuição de carga no cilindro. A densidade de carga indica que a carga varia linearmente ao longo do eixo . Isso significa que em cada posição dentro do cilindro, a densidade de carga é diferente.

Passo 3

Para encontrar o campo elétrico, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos com simetria específica. A Lei de Gauss afirma que:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
onde é a carga total dentro da superfície gaussiana e é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Vamos escolher uma superfície gaussiana que aproveite a simetria do problema. Como o cilindro é orientado ao longo do eixo e a densidade de carga depende apenas de , uma boa escolha é um cilindro coaxial com o cilindro original, com raio e altura .

Passo 5

Agora, precisamos calcular a carga encerrada Qenc = integral rho(z) , dV dentro da superfície gaussiana. A carga total é a integral da densidade de carga sobre o volume:
Qenc = integral0^h integral0^2pi integral0^r (rho0 + beta z) , r' , dr' , dtheta , dz
Como a densidade de carga depende apenas de , podemos escrever:

Passo 6

Realizando as integrações, primeiro sobre integral0^r r' , dr' = r^22 :
integral0^2pi dtheta = 2pi
Depois sobre Qenc = 2pi ( r^22 ) integral0^h (rho0 + beta z) , dz = pi r^2 ( rho0 h + beta h^22 ) :
Então, a carga encerrada fica:

Passo 7

Agora, aplicamos a Lei de Gauss. O fluxo elétrico através da superfície gaussiana é:
oint E cdot dA = E(r) cdot 2pi r h
Igualando ao E(r) cdot 2pi r h = pi r^2 ( rho0 h + beta h^22 )varepsilon0 :

Passo 8

Resolvendo para E(r) = r ( rho0 h + beta h^22 )2 varepsilon0 h = r2 varepsilon0 ( rho0 + beta h2 ) :

Resposta

O campo elétrico dentro do cilindro é dado por:
E(r) = r2,varepsilon0 ( rho0 + beta h2 ) r

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