Um cilindro circular reto, de raio e altura , está orientado ao longo do eixo z. Possui uma densidade volumétrica não uniforme de carga dada por em relação a uma origem no centro do cilindro. Determine o campo elétrico dentro do cilindro.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos apresenta um cilindro circular reto, com raio e altura , orientado ao longo do eixo . A densidade volumétrica de carga não é constante; ela varia ao longo do eixo conforme a fórmula . Nosso objetivo aqui é determinar o campo elétrico dentro desse cilindro. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de eletrostática, mais especificamente a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga envolvida.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a distribuição de carga no cilindro. A densidade de carga indica que a carga varia linearmente ao longo do eixo . Isso significa que em cada posição dentro do cilindro, a densidade de carga é diferente.

Passo 3

Para encontrar o campo elétrico, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos com simetria específica. A Lei de Gauss afirma que:
onde é a carga total dentro da superfície gaussiana e é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Vamos escolher uma superfície gaussiana que aproveite a simetria do problema. Como o cilindro é orientado ao longo do eixo e a densidade de carga depende apenas de , uma boa escolha é um cilindro coaxial com o cilindro original, com raio e altura .

Passo 5

Agora, precisamos calcular a carga encerrada dentro da superfície gaussiana. A carga total é a integral da densidade de carga sobre o volume:
Como a densidade de carga depende apenas de , podemos escrever:

Passo 6

Realizando as integrações, primeiro sobre :
Depois sobre :
Então, a carga encerrada fica:

Passo 7

Agora, aplicamos a Lei de Gauss. O fluxo elétrico através da superfície gaussiana é:
Igualando ao :

Passo 8

Resolvendo para :

Resposta

O campo elétrico dentro do cilindro é dado por:

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Efetue as multiplicações e as divisões. Expresse corretamente em notação científica.
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