Um cilindro circular reto, de raio
e altura
, está orientado ao longo do eixo z. Possui uma densidade volumétrica não uniforme de carga dada por
em relação a uma origem no centro do cilindro. Determine o campo elétrico dentro do cilindro.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos apresenta um cilindro circular reto, com raio
e altura
, orientado ao longo do eixo
. A densidade volumétrica de carga não é constante; ela varia ao longo do eixo
conforme a fórmula
. Nosso objetivo aqui é determinar o campo elétrico dentro desse cilindro. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de eletrostática, mais especificamente a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga envolvida.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a distribuição de carga no cilindro. A densidade de carga
indica que a carga varia linearmente ao longo do eixo
. Isso significa que em cada posição
dentro do cilindro, a densidade de carga é diferente.
Passo 3
Para encontrar o campo elétrico, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos com simetria específica. A Lei de Gauss afirma que:
onde
é a carga total dentro da superfície gaussiana e
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Vamos escolher uma superfície gaussiana que aproveite a simetria do problema. Como o cilindro é orientado ao longo do eixo
e a densidade de carga depende apenas de
, uma boa escolha é um cilindro coaxial com o cilindro original, com raio
e altura
.
Passo 5
Agora, precisamos calcular a carga encerrada
dentro da superfície gaussiana. A carga total é a integral da densidade de carga sobre o volume:
Como a densidade de carga depende apenas de
, podemos escrever:
Passo 6
Realizando as integrações, primeiro sobre
:
Depois sobre
:
Então, a carga encerrada fica:
Passo 7
Agora, aplicamos a Lei de Gauss. O fluxo elétrico através da superfície gaussiana é:
Igualando ao
:
Passo 8
Resolvendo para
:
Resposta
O campo elétrico dentro do cilindro é dado por:
Exercícios relacionados
Um disco circular, de raio
, tem uma densidade superficial uniforme de carga
. Determine o campo e o potencial elétrico em um ponto sobre o eixo do disco a uma distância
do plano do disco, usando a função Delta de Dirac.
Discuta o que ocorre com o campo elétrico quando uma distribuição de cargas é girada.
Efetue as multiplicações e as divisões. Expresse corretamente em notação científica.
Efetue as multiplicações e as divisões. Expresse corretamente em notação científica.