Um disco circular, de raio R, tem uma densidade superficial uniforme de carga sigma. Determine o campo e o potencial elétrico em um ponto sobre o eixo do disco a uma distância z do plano do disco, usando a função Delta de Dirac.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um disco circular com raio e uma densidade superficial de carga uniforme . A tarefa é determinar o campo elétrico e o potencial elétrico em um ponto que está no eixo do disco, a uma distância do plano do disco. Para resolver isso, vamos usar a função Delta de Dirac, que ajuda a modelar distribuições de carga contínuas de maneira matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade superficial de carga nos diz quanta carga está presente por unidade de área no disco. Como o disco é circular, é conveniente usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos considerar um elemento infinitesimal de área no disco, que em coordenadas cilíndricas é uma anel de raio e espessura . A área desse anel é . A carga nesse elemento é então .

Passo 4

Para encontrar o campo elétrico gerado por esse elemento de carga no ponto a distância , usamos a lei de Coulomb. Devido à simetria, apenas a componente na direç��o do eixo ( ) vai somar, pois as componentes radiais se cancelam.

Passo 5

A contribuição do campo elétrico na direção dEz = 14pivarepsilon0 cdot dq cdot z(r^2 + z^2)^3/2 devido ao elemento dEz = sigma z2varepsilon0 cdot r , dr(r^2 + z^2)^3/2 é dada por:
Substituindo por , temos:

Passo 6

Para encontrar o campo total Ez = sigma z2varepsilon0 integral0^R r , dr(r^2 + z^2)^3/2 , integramos de até :

Passo 7

Resolvendo a integral, fazemos a substituição Ez = sigma z2varepsilon0 [ -1raizr^2 + z^2 ]0^R = sigma z2varepsilon0 ( 1z - 1raizR^2 + z^2 ) , o que simplifica a integral:
Ez = sigma2varepsilon0 ( 1 - zraizR^2 + z^2 )
Simplificando:

Passo 8

Agora, para encontrar o potencial elétrico V(z) - V(infty) = -integralinfty^z Ez , dz , usamos a relação entre o potencial e o campo elétrico:
V(z) = sigma2varepsilon0 integralz^infty ( 1 - z'raizR^2 + z'^2 ) dz'
Assumindo que , integramos:

Passo 9

Resolvendo a integral, obtemos:
V(z) = sigma2varepsilon0 [ z' - raizR^2 + z'^2 ]z^infty = sigma2varepsilon0 ( infty - infty - (z - raizR^2 + z^2) )
Após simplificação, o potencial elétrico é:
V(z) = sigma2varepsilon0 raizR^2 + z^2

Resposta

O campo elétrico no ponto é e o potencial elétrico é .

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