Um disco circular, de raio , tem uma densidade superficial uniforme de carga . Determine o campo e o potencial elétrico em um ponto sobre o eixo do disco a uma distância do plano do disco, usando a função Delta de Dirac.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um disco circular com raio e uma densidade superficial de carga uniforme . A tarefa é determinar o campo elétrico e o potencial elétrico em um ponto que está no eixo do disco, a uma distância do plano do disco. Para resolver isso, vamos usar a função Delta de Dirac, que ajuda a modelar distribuições de carga contínuas de maneira matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade superficial de carga nos diz quanta carga está presente por unidade de área no disco. Como o disco é circular, é conveniente usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos considerar um elemento infinitesimal de área no disco, que em coordenadas cilíndricas é uma anel de raio e espessura . A área desse anel é . A carga nesse elemento é então .

Passo 4

Para encontrar o campo elétrico gerado por esse elemento de carga no ponto a distância , usamos a lei de Coulomb. Devido à simetria, apenas a componente na direç��o do eixo ( ) vai somar, pois as componentes radiais se cancelam.

Passo 5

A contribuição do campo elétrico na direção devido ao elemento é dada por:
Substituindo por , temos:

Passo 6

Para encontrar o campo total , integramos de até :

Passo 7

Resolvendo a integral, fazemos a substituição , o que simplifica a integral:
Simplificando:

Passo 8

Agora, para encontrar o potencial elétrico , usamos a relação entre o potencial e o campo elétrico:
Assumindo que , integramos:

Passo 9

Resolvendo a integral, obtemos:
Após simplificação, o potencial elétrico é:

Resposta

O campo elétrico no ponto é e o potencial elétrico é .

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