Um disco circular, de raio
, tem uma densidade superficial uniforme de carga
. Determine o campo e o potencial elétrico em um ponto sobre o eixo do disco a uma distância
do plano do disco, usando a função Delta de Dirac.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um disco circular com raio
e uma densidade superficial de carga uniforme
. A tarefa é determinar o campo elétrico e o potencial elétrico em um ponto que está no eixo do disco, a uma distância
do plano do disco. Para resolver isso, vamos usar a função Delta de Dirac, que ajuda a modelar distribuições de carga contínuas de maneira matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade superficial de carga
nos diz quanta carga está presente por unidade de área no disco. Como o disco é circular, é conveniente usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração.
Passo 3
Vamos considerar um elemento infinitesimal de área no disco, que em coordenadas cilíndricas é uma anel de raio
e espessura
. A área desse anel é
. A carga nesse elemento é então
.
Passo 4
Para encontrar o campo elétrico
gerado por esse elemento de carga
no ponto a distância
, usamos a lei de Coulomb. Devido à simetria, apenas a componente na direç��o do eixo (
) vai somar, pois as componentes radiais se cancelam.
Passo 5
A contribuição do campo elétrico na direção
devido ao elemento
é dada por:
Substituindo
por
, temos:
Passo 6
Para encontrar o campo total
, integramos
de
até
:
Passo 7
Resolvendo a integral, fazemos a substituição
, o que simplifica a integral:
Simplificando:
Passo 8
Agora, para encontrar o potencial elétrico
, usamos a relação entre o potencial e o campo elétrico:
Assumindo que
, integramos:
Passo 9
Resolvendo a integral, obtemos:
Após simplificação, o potencial elétrico é:
Resposta
O campo elétrico no ponto é
e o potencial elétrico é
.
Exercícios relacionados
Discuta o que ocorre com o campo elétrico quando uma distribuição de cargas é girada.
Calcule o módulo deste vetor para o caso de que
e
.
Um cilindro circular reto, de raio
e altura
, está orientado ao longo do eixo z. Possui uma densidade volumétrica não uniforme de carga dada por
em relação a uma origem no centro do cilindro. Determine o campo elétrico dentro do cilindro.
Efetue as multiplicações e as divisões. Expresse corretamente em notação científica.