Um cilindro cotutor tem raio e um comprimento . Este fio tem uma carga . Calcule o campo elétrico nos seguintes pontos: , medidas a partir do centro do cilindro.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e o que vamos precisar para resolver. Temos um cilindro com raio , comprimento e uma carga total . Precisamos calcular o campo elétrico em três pontos diferentes a partir do centro do cilindro: , e . Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações de simetria, como a de um cilindro carregado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de carga no cilindro. A carga total está distribuída ao longo do comprimento do cilindro. Para facilitar os cálculos, vamos calcular a densidade linear de carga , que é a quantidade de carga por unidade de comprimento.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico em cada um dos pontos , e . A Lei de Gauss nos diz que:
Onde:
  • é o campo elétrico.
  • é um elemento de área na superfície gaussiana.
  • é a carga encerrada pela superfície gaussiana.
  • é a permissividade do vácuo ( ).
Como o cilindro tem simetria cilíndrica, escolhemos uma superfície gaussiana também cilíndrica, coaxial com o cilindro carregado, com raio e comprimento .

Passo 4

O próximo passo é determinar a carga encerrada pela superfície gaussiana para cada valor de .
  1. Para : Este raio está dentro do cilindro, já que . Portanto, toda a carga está fora da superfície gaussiana, o que significa que .
  2. Para : Assim como antes, , então .
  3. Para : Novamente, , então .

Passo 5

Agora, aplicando a Lei de Gauss, temos:
Como para todos os valores de considerados, ficamos com:
Isso significa que o campo elétrico no interior do cilindro carregado é nulo.

Resposta

O campo elétrico nos pontos , e , medidos a partir do centro do cilindro, é igual a zero.

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