Um cilindro cotutor tem raio e um comprimento . Este fio tem uma carga . Obtenha uma expressão para o campo elétrico para a região .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cilindro carregado com raio , comprimento e carga total . Precisamos encontrar uma expressão para o campo elétrico na região interna ao cilindro, ou seja, para . Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que a integral do campo elétrico sobre uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) é igual à carga total encerrada por essa superfície dividida pela constante elétrica . Matematicamente, isso é expresso como:
Aqui, é a carga dentro da superfície gaussiana.

Passo 3

Para aplicar a Lei de Gauss nesse caso, vamos escolher uma superfície gaussiana que aproveite a simetria do problema. Como temos um cilindro longo e carregado de maneira uniforme, a melhor escolha é um cilindro coaxial com o cilindro dado, mas com raio e mesmo comprimento . Isso facilita os cálculos porque o campo elétrico terá a mesma magnitude em toda a superfície lateral do cilindro gaussiano e será perpendicular a ela.

Passo 4

Agora, precisamos calcular a carga encerrada pela superfície gaussiana. Sabendo que a carga está distribuída uniformemente ao longo do volume do cilindro, a densidade de carga volumétrica é dada por:
Então, a carga dentro do nosso cilindro gaussiano de raio será:

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss, a integral do campo elétrico sobre a superfície gaussiana se simplifica, pois o campo é constante na superfície lateral e paralelo aos vetores de área. Portanto:
Aqui, é a área lateral do cilindro gaussiano.

Passo 6

Agora, isolamos o campo elétrico :

Resposta

A expressão para o campo elétrico na região é:

Exercícios relacionados

Um cilindro cotutor tem raio e um comprimento . Este fio tem uma carga . Calcule a densidade linear de carga no fio.
Tem-se um fio longo uniformemente carregado. Em uma amostra deste fio com 1 mm de comprimento encontrou-se uma carga de . Calcule o campo elétrico em volta deste fio nas seguintes distâncias: .
Um cilindro cotutor tem raio e um comprimento . Este fio tem uma carga . Calcule o campo elétrico nos seguintes pontos: , medidas a partir do centro do cilindro.
Considere um disco de raio . Ele tem uma densidade superficial de cargas igual a . Calcule o campo elétrico para pontos que esteja a seguinte distância do disco: .