Um cilindro cotutor tem raio R=20 cm e um comprimento L=2 m. Este fio tem uma carga Q=20 times 10^-6 C. Obtenha uma expressão para o campo elétrico para a região r <= 20 cm.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cilindro carregado com raio R=20 cm, comprimento L=2 m e carga total Q=20 times 10^-6 C. Precisamos encontrar uma expressão para o campo elétrico na região interna ao cilindro, ou seja, para r <= 20 cm. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que a integral do campo elétrico E sobre uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) é igual à carga total encerrada por essa superfície dividida pela constante elétrica varepsilon0. Matematicamente, isso é expresso como:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Aqui, Qenc é a carga dentro da superfície gaussiana.

Passo 3

Para aplicar a Lei de Gauss nesse caso, vamos escolher uma superfície gaussiana que aproveite a simetria do problema. Como temos um cilindro longo e carregado de maneira uniforme, a melhor escolha é um cilindro coaxial com o cilindro dado, mas com raio r <= R e mesmo comprimento L. Isso facilita os cálculos porque o campo elétrico terá a mesma magnitude em toda a superfície lateral do cilindro gaussiano e será perpendicular a ela.

Passo 4

Agora, precisamos calcular a carga encerrada Qenc pela superfície gaussiana. Sabendo que a carga está distribuída uniformemente ao longo do volume do cilindro, a densidade de carga volumétrica rho é dada por:
rho = Qpi R^2 L
Então, a carga dentro do nosso cilindro gaussiano de raio r será:
Qenc = rho times pi r^2 L = Qpi R^2 L times pi r^2 L = Q ( r^2R^2 )

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss, a integral do campo elétrico sobre a superfície gaussiana se simplifica, pois o campo é constante na superfície lateral e paralelo aos vetores de área. Portanto:
E times (2pi r L) = Q ( r^2R^2 )varepsilon0
Aqui, 2pi r L é a área lateral do cilindro gaussiano.

Passo 6

Agora, isolamos o campo elétrico E:
E = Q ( r^2R^2 )2pi r L varepsilon0 = Q r2pi R^2 L varepsilon0

Resposta

A expressão para o campo elétrico na região r <= 20 cm é:
E = Q , r2pi varepsilon0 R^2 L

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