Um cilindro fino de 100 g e comprimento de 40 cm com metade da densidade da água boia na água.
(21a) Qual é a posição de equilíbrio do cilindro?
(21b) Em um determinado instante, o cilindro boia com ângulo de 45^circ com a superfície da água. Qual é o torque sobre o cilindro?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cilindro fino que flutua na água. A gente precisa entender melhor como ele está posicionado no equilíbrio e, depois, calcular o torque quando ele forma um ângulo de 45^circ com a superfície da água. Vamos precisar dos conceitos de princípio de Arquimedes para o equilíbrio e de torque para a segunda parte.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o cilindro estar em equilíbrio na água. Segundo o princípio de Arquimedes, um corpo imerso em um fluido sofre uma força de empuxo igual ao peso do fluido deslocado. No equilíbrio, o peso do cilindro é igual ao empuxo.

Passo 3

Vamos identificar os dados:
  • Massa do cilindro ( m) = 100 g = 0,1 kg
  • Comprimento ( L) = 40 cm = 0,4 m
  • Densidade da água ( rhoáguaá) = 1000 kg/m³
  • Densidade do cilindro ( rhocilindro) = 12 rhoáguaá = 500 kg/m³

Passo 4

O peso do cilindro ( P) é calculado por:
P = m times g
onde g é a aceleração da gravidade (~9,81 m/s²).
Então:
P = 0,1 , kg times 9,81 , m/s² = 0,981 , N ²

Passo 5

Agora, o empuxo ( E) deve ser igual ao peso para o equilíbrio:
E = P
E o empuxo é dado por:
E = rhoágua times Vdeslocado times g á
onde Vdeslocado é o volume de água deslocado.

Passo 6

Vamos encontrar o volume do cilindro ( Vcilindro):
Vcilindro = mrhocilindro = 0,1 , kg500 , kg/m³ = 0,0002 , m³ ³³
Para o equilíbrio, esse volume deslocado deve ter empuxo igual ao peso:
rhoágua times Vdeslocado times g = 0,981 , N á
1000 times Vdeslocado times 9,81 = 0,981
Vdeslocado = 0,9811000 times 9,81 = 0,0001 , m³ ³

Passo 7

Agora, vamos encontrar a altura submersa ( h) do cilindro. Sabendo que o volume deslocado é igual ao volume do cilindro submerso:
Vdeslocado = A times h
onde A é a área da base do cilindro.
Mas como o cilindro é fino, a área da base não foi fornecida, então assumimos que o cilindro está totalmente imerso ou apenas uma parte está submersa proporcionalmente ao volume deslocado.
Como Vdeslocado é metade do volume total do cilindro:
h = L2 = 0,4 , m2 = 0,2 , m

Resposta

A posição de equilíbrio do cilindro é quando metade do seu comprimento, ou seja, 20 cm, está submersa na água.

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