Se o cilindro fosse feito com um material condutor, carregado com a mesma carga total Q, qual seria o comportamento de campo e do potencial para
e
?
Passo 1
Então, a gente tem um cilindro feito de material condutor, carregado com uma carga total Q. A pergunta quer saber como ficam o campo elétrico e o potencial dentro do cilindro (quando a distância r do centro é menor que o raio R) e fora dele (quando r é maior que R). Vamos usar conceitos de eletrostática para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do material condutor é zero. Isso porque as cargas se redistribuem de forma a cancelar qualquer campo interno.
Passo 3
Para r < R, ou seja, dentro do cilindro condutor, como o campo elétrico é zero, o potencial é constante nessa região. Isso acontece porque o potencial não muda onde não há campo elétrico.
Passo 4
Agora, para r > R, fora do cilindro, podemos tratar o cilindro como se toda a carga Q estivesse concentrada no seu eixo. Assim, usamos a lei de Gauss para determinar o campo elétrico fora do cilindro.
A fórmula para o campo elétrico fora do cilindro é:
onde
é a permissividade do vácuo, L é o comprimento do cilindro, e r é a distância do eixo.
Passo 5
Para encontrar o potencial fora do cilindro, integramos o campo elétrico. A relação entre o campo e o potencial é:
Integrando, obtemos:
onde C é a constante de integração, que pode ser determinada considerando o potencial no infinito como zero.
Passo 6
Resumindo, dentro do cilindro condutor (r < R), o campo elétrico é zero e o potencial é constante. Fora do cilindro (r > R), o campo elétrico diminui com 1/r e o potencial depende do logaritmo de r.
Resposta
Dentro do cilindro condutor (r < R), o campo elétrico
e o potencial
é constante. Fora do cilindro (r > R), o campo elétrico é dado por
e o potencial é
.