Se o cilindro fosse feito com um material condutor, carregado com a mesma carga total Q, qual seria o comportamento de campo e do potencial para r e r>R ?

Passo 1

Então, a gente tem um cilindro feito de material condutor, carregado com uma carga total Q. A pergunta quer saber como ficam o campo elétrico e o potencial dentro do cilindro (quando a distância r do centro é menor que o raio R) e fora dele (quando r é maior que R). Vamos usar conceitos de eletrostática para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do material condutor é zero. Isso porque as cargas se redistribuem de forma a cancelar qualquer campo interno.

Passo 3

Para r < R, ou seja, dentro do cilindro condutor, como o campo elétrico é zero, o potencial é constante nessa região. Isso acontece porque o potencial não muda onde não há campo elétrico.

Passo 4

Agora, para r > R, fora do cilindro, podemos tratar o cilindro como se toda a carga Q estivesse concentrada no seu eixo. Assim, usamos a lei de Gauss para determinar o campo elétrico fora do cilindro.
A fórmula para o campo elétrico fora do cilindro é:
E(r) = Q2pi varepsilon0 L r
onde é a permissividade do vácuo, L é o comprimento do cilindro, e r é a distância do eixo.

Passo 5

Para encontrar o potencial fora do cilindro, integramos o campo elétrico. A relação entre o campo e o potencial é:
V(r) = -integral E(r) , dr
Integrando, obtemos:
V(r) = -Q2pi varepsilon0 L ln(r) + C
onde C é a constante de integração, que pode ser determinada considerando o potencial no infinito como zero.

Passo 6

Resumindo, dentro do cilindro condutor (r < R), o campo elétrico é zero e o potencial é constante. Fora do cilindro (r > R), o campo elétrico diminui com 1/r e o potencial depende do logaritmo de r.

Resposta

Dentro do cilindro condutor (r < R), o campo elétrico e o potencial é constante. Fora do cilindro (r > R), o campo elétrico é dado por e o potencial é .

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