Um observador na Terra verifica que uma régua que se move em relação a ele faz um ângulo de com a horizontal (eixo ). Se a régua se move na direção vertical (eixo ) com velocidade , para um observador no referencial da régua o ângulo que ela faz com a horizontal é maior que .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma régua que, para um observador na Terra, está se movendo fazendo um ângulo de com a horizontal (eixo ). Essa régua está se deslocando na direção vertical (eixo ) com uma velocidade de . A pergunta quer saber por que, para um observador que está na mesma régua (ou seja, no referencial da régua), o ângulo que a régua faz com a horizontal é maior que .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de Teoria da Relatividade de Einstein, especificamente como as velocidades e os ângulos se transformam entre diferentes referenciais em movimento relativo. Vamos usar as transformações de Lorentz para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine que a régua está fazendo com a horizontal enquanto se move verticalmente com velocidade . Isso significa que, na Terra, a componente horizontal da velocidade ( ) é relacionada com a componente vertical ( ) de alguma forma que forma esse ângulo.
Sabemos que o ângulo que a régua faz com a horizontal está relacionado às componentes das velocidades através da tangente:
Dado que e , podemos encontrar .

Passo 3

Vamos calcular usando a relação da tangente:
Sabemos que , então:
Resolvendo para :
Então, a componente horizontal da velocidade é .

Passo 4

Agora precisamos entender como esses componentes de velocidade se transformam no referencial da régua. Na Terra, a régua está se movendo com velocidade na direção , então o referencial da régua está se movendo com essa velocidade em relação à Terra.
Para transformar as velocidades para o referencial da régua, usamos as transformações de Lorentz para velocidades. Porém, como a régua está se movendo apenas na direção , a componente será afetada pela contração do espaço.
A transformação de Lorentz para a componente é:
onde é o fator de Lorentz dado por:

Passo 5

Vamos calcular o fator com :
Então, .

Passo 6

Agora, aplicamos a transformação de Lorentz para :
Então, .

Passo 7

Agora, no referencial da régua, a componente horizontal da velocidade é , enquanto a componente vertical é zero, já que a régua está em seu próprio referencial e não está se movendo verticalmente.
Isso significa que, para o observador na régua, a régua está apenas se esticando horizontalmente devido à contração do espaço, o que faz com que o ângulo com a horizontal aumente.

Passo 8

Para encontrar o novo ângulo no referencial da régua, usamos novamente a tangente:
Como no referencial da régua, a régua agora está completamente horizontal, mas devido à contração do espaço, a percepção do ângulo original aumenta. Portanto, o ângulo percebido na régua é maior que .

Resposta

Para um observador no referencial da régua, o ângulo que ela faz com a horizontal é maior que .

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