Um cilindro homogêneo com 10 cm de raio e 20 kg de massa está montado de modo a poder girar livremente em torno de um eixo horizontal paralelo ao eixo central longitudinal do cilindro e situado a do eixo. (a) Qual é o momento de inércia do cilindro em relação ao eixo de rotação? (b) Se o cilindro é liberado a partir do repouso com o eixo central longitudinal na mesma altura que o eixo em torno do qual pode girar, qual é a velocidade angular do cilindro ao passar pelo ponto mais baixo da trajetória?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de física envolvendo o momento de inércia e a velocidade angular de um cilindro homogêneo. O problema nos pede para calcular o momento de inércia do cilindro em relação a um eixo de rotação específico e, em seguida, determinar a velocidade angular do cilindro ao passar pelo ponto mais baixo de sua trajetória. Para isso, vamos precisar entender o conceito de momento de inércia e utilizar a teoria de conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia do cilindro em relação ao eixo de rotação. O momento de inércia é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação e afeta a dificuldade de iniciar ou parar a rotação desse objeto.

Passo 3

Como o eixo de rotação não passa pelo centro de massa do cilindro, vamos utilizar o Teorema dos Eixos Paralelos. Esse teorema nos permite calcular o momento de inércia em relação a um eixo paralelo ao eixo central do objeto.
A fórmula do Teorema dos Eixos Paralelos é:
Onde:
  • é o momento de inércia em relação ao novo eixo.
  • é o momento de inércia em relação ao centro de massa.
  • é a massa do objeto.
  • é a distância entre os dois eixos.

Passo 4

Para um cilindro homogêneo girando em torno do seu eixo central, o momento de inércia é dado por:
Onde:
  • é o raio do cilindro.

Passo 5

Vamos calcular :
Dados:
  • Massa
  • Raio

Passo 6

Agora, aplicamos o Teorema dos Eixos Paralelos para encontrar o momento de inércia em relação ao eixo de rotação:
Dados:
  • Distância

Passo 7

Agora, vamos calcular a velocidade angular do cilindro ao passar pelo ponto mais baixo da trajetória. Para isso, vamos usar a Conservação da Energia Mecânica. A energia potencial gravitacional inicial será convertida em energia cinética rotacional no ponto mais baixo.
A fórmula da conservação de energia é:
Onde:
  • é a altura que o centro de massa desceu.
  • é a velocidade angular que queremos encontrar.

Passo 8

Determinar :
Como o eixo de rotação está 5,0 cm acima do centro do cilindro, ao passar pelo ponto mais baixo, o centro de massa desce uma altura .

Passo 9

Isolando na equação da conservação de energia:

Passo 10

Substituindo os valores:
Dados:
  • Massa
  • Gravidade
  • Altura
  • Momento de inércia

Resposta

A velocidade angular do cilindro ao passar pelo ponto mais baixo da trajetória é aproximadamente .

Exercícios relacionados

um pêndulo simples possui um período igual a na terra . Qual é o período na superfície de Marte, onde ?
Uma esfera com de raio, cuja emissividade é 0,850 , está a em um local onde a temperatura ambiente é . Qual é a taxa líquida de troca de energia da esfera?
Verdadeiro ou falso: Quando um sistema pode ir do estado 1 para o estado 2 através de vários processos diferentes, a quantidade de calor absorvida pelo sistema será a mesma para todos os processos.
Em decorrência de uma lesão no maxilar, um paciente precisa usar uma faixa que produz uma força resultante de 5,00 N para cima sobre seu queixo. A tensão é a mesma em toda a faixa. Até que tensão a faixa precisa ser ajustada para oferecer a força necessária para cima?