Um cilindro homogêneo com 10 cm de raio e 20 kg de massa está montado de modo a poder girar livremente em torno de um eixo horizontal paralelo ao eixo central longitudinal do cilindro e situado a 5,0 cm do eixo. (a) Qual é o momento de inércia do cilindro em relação ao eixo de rotação? (b) Se o cilindro é liberado a partir do repouso com o eixo central longitudinal na mesma altura que o eixo em torno do qual pode girar, qual é a velocidade angular do cilindro ao passar pelo ponto mais baixo da trajetória?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de física envolvendo o momento de inércia e a velocidade angular de um cilindro homogêneo. O problema nos pede para calcular o momento de inércia do cilindro em relação a um eixo de rotação específico e, em seguida, determinar a velocidade angular do cilindro ao passar pelo ponto mais baixo de sua trajetória. Para isso, vamos precisar entender o conceito de momento de inércia e utilizar a teoria de conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia do cilindro em relação ao eixo de rotação. O momento de inércia é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação e afeta a dificuldade de iniciar ou parar a rotação desse objeto.

Passo 3

Como o eixo de rotação não passa pelo centro de massa do cilindro, vamos utilizar o Teorema dos Eixos Paralelos. Esse teorema nos permite calcular o momento de inércia em relação a um eixo paralelo ao eixo central do objeto.
A fórmula do Teorema dos Eixos Paralelos é:
I = Icm + m cdot d^2
Onde:
  • é o momento de inércia em relação ao novo eixo.
  • é o momento de inércia em relação ao centro de massa.
  • é a massa do objeto.
  • é a distância entre os dois eixos.

Passo 4

Para um cilindro homogêneo girando em torno do seu eixo central, o momento de inércia Icm = 12 m r^2 é dado por:
Onde:
  • é o raio do cilindro.

Passo 5

Vamos calcular Icm = 12 times 20 , kg times (0,10 , m)^2 :
Dados:
  • Massa Icm = 10 times 0,01
  • Raio Icm = 0,1 , kg cdot m^2

Passo 6

Agora, aplicamos o Teorema dos Eixos Paralelos para encontrar o momento de inércia em relação ao eixo de rotação:
Dados:
  • Distância I = Icm + m cdot d^2
I = 0,1 , kg cdot m^2 + 20 , kg times (0,05 , m)^2
I = 0,1 + 20 times 0,0025
I = 0,1 + 0,05
I = 0,15 , kg cdot m^2

Passo 7

Agora, vamos calcular a velocidade angular do cilindro ao passar pelo ponto mais baixo da trajetória. Para isso, vamos usar a Conservação da Energia Mecânica. A energia potencial gravitacional inicial será convertida em energia cinética rotacional no ponto mais baixo.
A fórmula da conservação de energia é:
mgh = 12 I omega^2
Onde:
  • é a altura que o centro de massa desceu.
  • é a velocidade angular que queremos encontrar.

Passo 8

Determinar :
Como o eixo de rotação está 5,0 cm acima do centro do cilindro, ao passar pelo ponto mais baixo, o centro de massa desce uma altura .

Passo 9

Isolando omega = raiz2mghI na equação da conservação de energia:

Passo 10

Substituindo os valores:
Dados:
  • Massa omega = raiz2 times 20 times 9,81 times 0,050,15
  • Gravidade omega = raiz19,620,15
  • Altura omega = raiz130,8
  • Momento de inércia omega approx 11,43 , rad/s

Resposta

A velocidade angular do cilindro ao passar pelo ponto mais baixo da trajetória é aproximadamente .

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