Um cilindro homogêneo com 10 cm de raio e 20 kg de massa está montado de modo a poder girar livremente em torno de um eixo horizontal paralelo ao eixo central longitudinal do cilindro e situado a
do eixo. (a) Qual é o momento de inércia do cilindro em relação ao eixo de rotação? (b) Se o cilindro é liberado a partir do repouso com o eixo central longitudinal na mesma altura que o eixo em torno do qual pode girar, qual é a velocidade angular do cilindro ao passar pelo ponto mais baixo da trajetória?
Passo 1
Vamos resolver um exercício de física envolvendo o momento de inércia e a velocidade angular de um cilindro homogêneo. O problema nos pede para calcular o momento de inércia do cilindro em relação a um eixo de rotação específico e, em seguida, determinar a velocidade angular do cilindro ao passar pelo ponto mais baixo de sua trajetória. Para isso, vamos precisar entender o conceito de momento de inércia e utilizar a teoria de conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia do cilindro em relação ao eixo de rotação. O momento de inércia é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação e afeta a dificuldade de iniciar ou parar a rotação desse objeto.
Passo 3
Como o eixo de rotação não passa pelo centro de massa do cilindro, vamos utilizar o Teorema dos Eixos Paralelos. Esse teorema nos permite calcular o momento de inércia em relação a um eixo paralelo ao eixo central do objeto.
A fórmula do Teorema dos Eixos Paralelos é:
Onde:
-
é o momento de inércia em relação ao novo eixo. -
é o momento de inércia em relação ao centro de massa. -
é a massa do objeto. -
é a distância entre os dois eixos.
Passo 4
Para um cilindro homogêneo girando em torno do seu eixo central, o momento de inércia
é dado por:
Onde:
-
é o raio do cilindro.
Passo 5
Vamos calcular
:
Dados:
- Massa
- Raio
Passo 6
Agora, aplicamos o Teorema dos Eixos Paralelos para encontrar o momento de inércia em relação ao eixo de rotação:
Dados:
- Distância
Passo 7
Agora, vamos calcular a velocidade angular do cilindro ao passar pelo ponto mais baixo da trajetória. Para isso, vamos usar a Conservação da Energia Mecânica. A energia potencial gravitacional inicial será convertida em energia cinética rotacional no ponto mais baixo.
A fórmula da conservação de energia é:
Onde:
-
é a altura que o centro de massa desceu. -
é a velocidade angular que queremos encontrar.
Passo 8
Determinar
:
Como o eixo de rotação está 5,0 cm acima do centro do cilindro, ao passar pelo ponto mais baixo, o centro de massa desce uma altura
.
Passo 9
Isolando
na equação da conservação de energia:
Passo 10
Substituindo os valores:
Dados:
- Massa
- Gravidade
- Altura
- Momento de inércia
Resposta
A velocidade angular do cilindro ao passar pelo ponto mais baixo da trajetória é aproximadamente
.
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