Em um cilindro isolado termicamente por um pistão de peso desprezível encontra-se m = 30 g de água a uma temperatura de 0°C. A área do pistão é S = 512 cm^2, a pressão externa é p = 1 atm. Determine a que altura, aproximadamente, eleva-se o pistão, se o aquecedor elétrico, que se encontra no cilindro, desprende Q = 24 200 J. Dados: Despreze a variação do volume de água; 1 cal = 4,2 J; R = 0,082 atm.L/mol.K; MH2O = 18 g/mol); cágua = 1,0 cal/gºC; e Lvapor = 540 cal/g.
a) 1,6 cm
b) 8,0 cm
c) 17,0 cm
d) 25,0 cm
e) 32,0 cm.
a) 1,6 cm
b) 8,0 cm
c) 17,0 cm
d) 25,0 cm
e) 32,0 cm.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um cilindro com um pistão leve, contendo 30 gramas de água a 0°C. O pistão tem uma área de 512 cm² e a pressão externa é de 1 atm. Um aquecedor elétrico libera 24.200 J de energia. Nosso objetivo é descobrir até que altura o pistão vai se elevar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, como calor, trabalho e a relação entre pressão, volume e temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. A área do pistão está em cm², então vamos converter para m²:
Passo 3
Sabemos que o trabalho realizado pelo gás é dado por:
Onde $ P $ é a pressão e $ \Delta V $ é a variação de volume. Porém, a variação de volume também pode ser relacionada à altura que o pistão sobe ($ h $):
Então, o trabalho fica:
Passo 4
Agora, sabemos que a energia fornecida pelo aquecedor elétrica ($ Q $) é usada para realizar o trabalho de elevação do pistão:
Portanto:
Queremos encontrar $ h $, então rearranjamos a equação:
Passo 5
Precisamos garantir que todas as unidades estejam compatíveis. Vamos converter a pressão de atm para pascal (SI):
Então:
Também já temos $ Q = 24.200 , J $ e $ S = 0,0512 , m^2 $.
Passo 6
Substituindo os valores na equação para $ h $:
Calculando o denominador:
Então:
Passo 7
Hmm, esse resultado parece muito alto e não está entre as opções. Vamos revisar os cálculos. Percebi que a energia liberada é em joules, e a pressão estava em pascal. Vamos verificar se a conversão das unidades está correta.
Passo 8
Outra abordagem é notar que $ 1 , J = 1 , N \cdot m $, e $ P \times S = N/m^2 \times m^2 = N $. Então, $ W = P \times S \times h $ retorna em joules, o que está correto. Talvez haja alguma simplificação ou consideração a mais que precisamos fazer.
Passo 9
Considerando que a variação do volume da água é desprezada, o aquecimento do sistema contribui apenas para o trabalho de elevação do pistão. Portanto, a fórmula $ h = \frac{Q}{P \times S} $ está correta. Vamos refazer os cálculos:
Ainda assim, o valor está muito alto. Provavelmente, a energia fornecida não é apenas para elevar o pistão, mas também para aquecer a água. Vamos considerar que parte da energia é usada para aquecer e a outra para elevar o pistão.
Passo 10
Vamos calcular a quantidade de calor necessária para aquecer a água de 0°C a 100°C (assumindo que a água ferve):
Onde:
Convertendo calorias para joules:
Então:
Passo 11
Agora, a energia restante vai para o trabalho de elevação do pistão:
Agora, usamos esse valor para calcular $ h $:
Ainda acima das opções. Talvez a temperatura não seja elevada até a ebulição. Vamos reavaliar.
Passo 12
Se a temperatura da água permanece a 0°C, a energia fornecida vai apenas para o trabalho de expansão, sem aquecimento. Então, voltando à fórmula inicial:
Como esse valor não está nas opções, é possível que tenhamos que converter para centímetros:
Ainda assim, não corresponde às alternativas. Talvez haja uma interpretação diferente do problema ou uma consideração adicional que falta.
Passo 13
Vamos tentar considerar a liberação de calor para a transformação de água em vapor:
Onde:
Convertendo para joules:
Como $ Q_{total} = 24.200 , J $, isso não é possível. Portanto, essa não é a abordagem correta.
Passo 14
Parece que estamos seguindo um caminho complicado. Vamos voltar à pergunta e identificar o que exatamente está sendo solicitado: determinar a altura que o pistão se eleva quando uma energia de 24.200 J é liberada, considerando que a variação do volume da água é desprezada.
Portanto, a fórmula $ h = \frac{Q}{P \times S} $ é válida. Talvez a conversão esteja incorreta. Vamos refazer:
Então:
Convertendo para centímetros:
Ainda assim, não corresponde às opções. Pode haver um erro na interpretação do problema ou nas unidades fornecidas.
Resposta
Nenhuma das alternativas fornecidas corresponde ao cálculo realizado. Recomendamos revisar os dados do problema ou considerar possíveis simplificações.