Calcule o campo elétrico gerado por um anel de espessura desprezível e raio R, carregado com uma carga q uniformemente sobre seu corpo, em um ponto sobre o eixo de simetria do anel e à distância z do seu centro.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre eletrostática, especificamente sobre o cálculo do campo elétrico gerado por um anel carregado. O problema diz que temos um anel com raio e carga total distribuída uniformemente. Queremos encontrar o campo elétrico nesse anel, em um ponto que está na linha de simetria do anel, a uma distância do centro do anel. Para isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico e simetria em distribuição de cargas.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o anel como sendo composto por muitos pequenos pedaços de carga, cada um com uma carga . Como a carga está uniformemente distribuída, cada parte do anel contribui igualmente para o campo elétrico no ponto onde queremos calcular.

Passo 3

O campo elétrico gerado por um pequeno pedaço de carga dE = 14pivarepsilon0 dqr^2 r no ponto a uma distância pode ser calculado usando a Lei de Coulomb:
onde é a distância entre o elemento de carga e o ponto de interesse, e é o vetor unitário na direção desse campo.

Passo 4

No nosso caso, a distância r = raizR^2 + z^2 pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras, já que o ponto está acima do centro do anel:
dE = 14pivarepsilon0 dq(R^2 + z^2) costheta
Portanto, o campo elétrico devido a será:
onde .

Passo 5

Devido à simetria do anel, os componentes horizontais dos campos elétricos de cada elemento se cancelam, deixando apenas a componente vertical. Assim, podemos integrar apenas a componente dos campos de todos os elementos de carga.

Passo 6

Integrando sobre todo o anel, a carga total pode ser expressa como , onde é a densidade linear de carga. Portanto, , onde é o ângulo ao redor do anel.

Passo 7

A integral do campo elétrico total E = integral dE = 14pivarepsilon0 q z(R^2 + z^2)^3/2 na direção é então:
Isso porque a integral das componentes horizontais se anula e apenas a componente permanece.

Resposta

O campo elétrico no ponto sobre o eixo de simetria do anel é dado por:
E = 14pivarepsilon0 cdot q z(R^2 + z^2)^3/2

Exercícios relacionados