Calcule o campo elétrico gerado por um anel de espessura desprezível e raio , carregado com uma carga uniformemente sobre seu corpo, em um ponto sobre o eixo de simetria do anel e à distância do seu centro.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre eletrostática, especificamente sobre o cálculo do campo elétrico gerado por um anel carregado. O problema diz que temos um anel com raio e carga total distribuída uniformemente. Queremos encontrar o campo elétrico nesse anel, em um ponto que está na linha de simetria do anel, a uma distância do centro do anel. Para isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico e simetria em distribuição de cargas.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o anel como sendo composto por muitos pequenos pedaços de carga, cada um com uma carga . Como a carga está uniformemente distribuída, cada parte do anel contribui igualmente para o campo elétrico no ponto onde queremos calcular.

Passo 3

O campo elétrico gerado por um pequeno pedaço de carga no ponto a uma distância pode ser calculado usando a Lei de Coulomb:
onde é a distância entre o elemento de carga e o ponto de interesse, e é o vetor unitário na direção desse campo.

Passo 4

No nosso caso, a distância pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras, já que o ponto está acima do centro do anel:
Portanto, o campo elétrico devido a será:
onde .

Passo 5

Devido à simetria do anel, os componentes horizontais dos campos elétricos de cada elemento se cancelam, deixando apenas a componente vertical. Assim, podemos integrar apenas a componente dos campos de todos os elementos de carga.

Passo 6

Integrando sobre todo o anel, a carga total pode ser expressa como , onde é a densidade linear de carga. Portanto, , onde é o ângulo ao redor do anel.

Passo 7

A integral do campo elétrico total na direção é então:
Isso porque a integral das componentes horizontais se anula e apenas a componente permanece.

Resposta

O campo elétrico no ponto sobre o eixo de simetria do anel é dado por:

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c) a uma distância da extremidade direita e sobre a mesma linha do fio. (Resp. a) b) c) )
Um cilindro isolante muito longo, de raio , possui um buraco cilíndrico, com raio , perfurado ao longo de toda a extensão de um eixo paralelo ao eixo do cilindro. O eixo do buraco está a uma distância do eixo do cilindro, em que (Figura P22.58). A parte maciça do cilindro possui densidade volumétrica de carga uniforme. Encontre o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico no interior do buraco e mostre que é uniforme em todos os pontos do volume do buraco. (Dica: veja o Problema 22.57.)
Figura P22.58
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