Calcule o campo elétrico gerado por um anel de espessura desprezível e raio
, carregado com uma carga
uniformemente sobre seu corpo, em um ponto sobre o eixo de simetria do anel e à distância
do seu centro.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre eletrostática, especificamente sobre o cálculo do campo elétrico gerado por um anel carregado. O problema diz que temos um anel com raio
e carga total
distribuída uniformemente. Queremos encontrar o campo elétrico nesse anel, em um ponto que está na linha de simetria do anel, a uma distância
do centro do anel. Para isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico e simetria em distribuição de cargas.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o anel como sendo composto por muitos pequenos pedaços de carga, cada um com uma carga
. Como a carga está uniformemente distribuída, cada parte do anel contribui igualmente para o campo elétrico no ponto onde queremos calcular.
Passo 3
O campo elétrico gerado por um pequeno pedaço de carga
no ponto a uma distância
pode ser calculado usando a Lei de Coulomb:
onde
é a distância entre o elemento de carga e o ponto de interesse, e
é o vetor unitário na direção desse campo.
Passo 4
No nosso caso, a distância
pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras, já que o ponto está acima do centro do anel:
Portanto, o campo elétrico devido a
será:
onde
.
Passo 5
Devido à simetria do anel, os componentes horizontais dos campos elétricos de cada elemento
se cancelam, deixando apenas a componente vertical. Assim, podemos integrar apenas a componente
dos campos de todos os elementos de carga.
Passo 6
Integrando sobre todo o anel, a carga total
pode ser expressa como
, onde
é a densidade linear de carga. Portanto,
, onde
é o ângulo ao redor do anel.
Passo 7
A integral do campo elétrico total
na direção
é então:
Isso porque a integral das componentes horizontais se anula e apenas a componente
permanece.
Resposta
O campo elétrico no ponto sobre o eixo de simetria do anel é dado por:
Exercícios relacionados
c)
a uma distância
da extremidade direita e sobre a mesma linha do fio. (Resp. a)
b)
c)
)
Um cilindro isolante muito longo, de raio
, possui um buraco cilíndrico, com raio
, perfurado ao longo de toda a extensão de um eixo paralelo ao eixo do cilindro. O eixo do buraco está a uma distância
do eixo do cilindro, em que
(Figura P22.58). A parte maciça do cilindro possui densidade volumétrica de carga
uniforme. Encontre o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico
no interior do buraco e mostre que
é uniforme em todos os pontos do volume do buraco. (Dica: veja o Problema 22.57.)
Figura P22.58
Figura P22.58
b) o valor e sentido da corrente induzida
na espeira quando seu lado inferior está a uma distância
do fio. (Resp. a)
; b)
horário)
Considere uma carga pontual positiva
movimentando-se com velocidade
em um campo magnético
. Se a velocidade inicial da carga é
, mostre que sua trajetória será helicoidal e expressa por
e
.