Um cilindro maciço e alumínio (liga 6061) com comprimento L=0,5 m e diâmetro D=0,2 m é resfriado por imersão em um tanque com água a 20^circ C. O cilindro encontra-se inicialmente a uma temperatura uniforme e 200^circ C e possui as seguintes propriedades:
Condutividade térmica: 167 W / m K;
Densidade =2700 kg / m 3;
Calor específico =900 J / kg K
O coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície do cilindro é 100 W / m^2 K.
Estime em quanto tempo a temperatura do cilindro atinge 50^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro de alumínio (liga 6061) que está sendo resfriado em água. A temperatura inicial do cilindro é de 200^circ C e a água está a 20^circ C. Precisamos descobrir quanto tempo leva para a temperatura do cilindro cair para 50^circ C.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por convecção e a metodologia de capacitância concentrada (também conhecida como método de Newton do resfriamento). Vamos precisar dos seguintes dados:
  • Comprimento do cilindro, L = 0,5, m
  • Diâmetro do cilindro, D = 0,2, m
  • Condutividade térmica, k = 167, W/m cdot K
  • Densidade, rho = 2700, kg/m^3
  • Calor específico, c = 900, J/kg cdot K
  • Coeficiente de transferência de calor por convecção, h = 100, W/m^2 cdot K

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se podemos usar o método de capacitância concentrada. Para isso, calculamos o número de Biot (Bi), que nos ajuda a saber se a temperatura dentro do cilindro é praticamente uniforme durante o resfriamento.
Bi = h cdot Lck
Onde Lc é o comprimento característico. Para um cilindro, Lc = D4.
Lc = 0,2, m4 = 0,05, m
Agora, calculando o número de Biot:
Bi = 100, W/m^2 cdot K times 0,05, m167, W/m cdot K approx 0,03
Como Bi < 0,1, podemos usar o método de capacitância concentrada, que simplifica bastante os cálculos assumindo que a temperatura é uniforme em todo o cilindro.

Passo 3

Vamos calcular a massa do cilindro ( m) usando a densidade e o volume. Primeiro, o volume ( V) do cilindro:
V = pi (D2)^2 L = pi (0,22)^2 times 0,5 = pi times 0,01 times 0,5 = 0,0157, m^3
Agora, a massa:
m = rho times V = 2700, kg/m^3 times 0,0157, m^3 approx 42,39, kg

Passo 4

Agora, vamos calcular a área superficial ( A) do cilindro que está em contato com a água, já que é por essa área que o calor será transferido.
A = pi D L = pi times 0,2, m times 0,5, m = 0,314, m^2

Passo 5

Com todos os dados prontos, vamos usar a equação do resfriamento por convecção:
T(t) - Tinfty = (T0 - Tinfty) times e^-h Am c t
Queremos encontrar o tempo ( t) quando T(t) = 50^circ C.
Vamos rearranjar a equação para resolver t:
T(t) - TinftyT0 - Tinfty = e^-h Am c t
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
ln(T(t) - TinftyT0 - Tinfty) = -h Am c t
Isolando t:
t = -m ch A ln(T(t) - TinftyT0 - Tinfty)

Passo 6

Vamos substituir os valores na equação:
  • T0 = 200^circ C
  • T(t) = 50^circ C
  • Tinfty = 20^circ C
  • m = 42,39, kg
  • c = 900, J/kg cdot K
  • h = 100, W/m^2 cdot K
  • A = 0,314, m^2
Primeiro, calculamos a razão dentro do logaritmo:
50 - 20200 - 20 = 30180 = 16
Agora, substituindo na equação:
t = -42,39 times 900100 times 0,314 ln(16)
Calculando os valores:
t = -38.15131,4 times ln(16)
t approx -1214 times (-1,792)
t approx 2174, segundos
Convertendo para minutos:
t approx 217460 approx 36,2, minutos

Resposta

O tempo necessário para a temperatura do cilindro atingir 50^circ C é de aproximadamente 36 minutos.

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