Um cilindro maciço e alumínio (liga 6061) com comprimento
e diâmetro
é resfriado por imersão em um tanque com água a
. O cilindro encontra-se inicialmente a uma temperatura uniforme e
e possui as seguintes propriedades:
Condutividade térmica:
;
Densidade
;
Calor específico
O coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície do cilindro é
.
Estime em quanto tempo a temperatura do cilindro atinge
.
Condutividade térmica:
Densidade
Calor específico
O coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície do cilindro é
Estime em quanto tempo a temperatura do cilindro atinge
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro de alumínio (liga 6061) que está sendo resfriado em água. A temperatura inicial do cilindro é de
e a água está a
. Precisamos descobrir quanto tempo leva para a temperatura do cilindro cair para
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por convecção e a metodologia de capacitância concentrada (também conhecida como método de Newton do resfriamento). Vamos precisar dos seguintes dados:
- Comprimento do cilindro,
- Diâmetro do cilindro,
- Condutividade térmica,
- Densidade,
- Calor específico,
- Coeficiente de transferência de calor por convecção,
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se podemos usar o método de capacitância concentrada. Para isso, calculamos o número de Biot (Bi), que nos ajuda a saber se a temperatura dentro do cilindro é praticamente uniforme durante o resfriamento.
Onde
é o comprimento característico. Para um cilindro,
.
Agora, calculando o número de Biot:
Como
, podemos usar o método de capacitância concentrada, que simplifica bastante os cálculos assumindo que a temperatura é uniforme em todo o cilindro.
Passo 3
Vamos calcular a massa do cilindro (
) usando a densidade e o volume. Primeiro, o volume (
) do cilindro:
Agora, a massa:
Passo 4
Agora, vamos calcular a área superficial (
) do cilindro que está em contato com a água, já que é por essa área que o calor será transferido.
Passo 5
Com todos os dados prontos, vamos usar a equação do resfriamento por convecção:
Queremos encontrar o tempo (
) quando
.
Vamos rearranjar a equação para resolver
:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Isolando
:
Passo 6
Vamos substituir os valores na equação:
Primeiro, calculamos a razão dentro do logaritmo:
Agora, substituindo na equação:
Calculando os valores:
Convertendo para minutos:
Resposta
O tempo necessário para a temperatura do cilindro atingir
é de aproximadamente 36 minutos.