Seja um recipiente de paredes delgadas com a área da superficie livre constante, contendo um fluido ideal, escoando em regime permanente através de um orificio lateral. Determine o modelo matemático para este modelo através do uso da equação de bernoulli.
Resp: v=(2gh)^0,5

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um recipiente com paredes finas e uma área de superfície livre constante, que contém um fluido ideal fluindo de forma contínua através de um orifício lateral. Vamos usar a equação de Bernoulli para modelar matematicamente esse sistema. Para isso, precisamos lembrar dos conceitos básicos da equação de Bernoulli e como aplicá-la a este cenário.

Passo 2

A equação de Bernoulli relaciona a pressão, a velocidade e a altura de um fluido em dois pontos diferentes ao longo de uma linha de corrente. A equação é dada por:
P1 + 12rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12rho v2^2 + rho g h2
Onde:
  • $ P $ é a pressão,
  • $ \rho $ é a densidade do fluido,
  • $ v $ é a velocidade do fluido,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade,
  • $ h $ é a altura.

Passo 3

Vamos escolher dois pontos para aplicar a equação de Bernoulli:
  1. Ponto 1: Na superfície livre do fluido no recipiente.
  2. Ponto 2: No orifício lateral por onde o fluido está saindo.
No ponto 1:
  • A velocidade $ v_1 $ é praticamente zero porque a área da superfície livre é constante e o fluido está em repouso relativo.
  • A altura $ h_1 $ é a altura do fluido no recipiente.
No ponto 2:
  • A pressão $ P_2 $ é atmosférica.
  • A altura $ h_2 $ é zero, já que estamos considerando o nível de referência no orifício.
  • A velocidade $ v_2 $ é o que queremos encontrar.

Passo 4

Substituindo as informações na equação de Bernoulli:
P1 + 12rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12rho v2^2 + rho g h2
Como $ v_1 \approx 0 $ e $ h_2 = 0 $, a equação simplifica para:
v1 approx 0
Assumindo que a pressão na superfície livre $ P_1 $ e no orifício $ P_2 $ são iguais (pressão atmosférica), os termos de pressão se cancelam:
h2 = 0
Agora, podemos resolver para $ v_2 $:
P1 + rho g h1 = P2 + 12rho v2^2

Resposta

A velocidade do fluido no orifício é dada por:
v = raiz2gh

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